―立体几何典型问题的解题策略

立体几何典型问题的解题策略一、平行问题二、垂直问题三、空间线面位置关系的判断典型问题典型问题一平行问题平行问题主要是线线平行、线面平行和面面平行，其中线面平行既是考查的重点，也是难点.（1）转化为线线平行或面面平行；（2）如何转化？如何证明线、面间的平行？线线平行线面平行面面平行如何证明线面平行？例1．如图，在四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为CE，AB的中点，求证：MN∥平面ADE．ABCDEMN（1）要证什么？（3）如何找到这样的线或面？MN//平面ADEMN//平面ADE内的一条直线或经过MN的某一平面//平面ADE（2）需要什么？平行投影、中心投影、中位线等ABCDEMN策略一通过“平行投影”寻找平面ADE内平行与直线MN的直线H1.构造平行四边形实现平移2.运用判定定理证明MN//平面ADE.ABCDEMNH证明：取DE中点H，连结MH、AH．因为M为CE中点，所以MH＝∥12DC．因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC＝∥AB．故MH＝∥12AB．因为N为AB中点，所以MH＝∥AN．所以四边形ANMH为平行四边形．所以MN∥AH．因为MN平面ADE，AH平面ADE．所以，MN∥平面ADE．ABCDEMN策略二通过“中心投影”寻找平面ADE内平行与直线MN的直线FABCDEMN策略二通过“中心投影”寻找平面ADE内平行与直线MN的直线ABCDEMN策略二通过“中心投影”寻找平面ADE内平行与直线MN的直线F1.选择适当的投影中心C，确定投影位置2.运用判定定理证明MN//平面ADE.ABCDEMNF证明：连结CN并延长交DA的延长线于点F，连结FE．因为点N是AB的中点，且DA∥CB，所以FN＝NC，即N为CF的中点．因为M是CE的中点，所以MN∥EF．因为EF平面ADE，MN平面ADE，所以MN∥平面ADE．ABCDEMN策略三借助中位线构造经过MN且与平面ADE平行的平面GABCDEMNGABCDEMN策略三借助中位线构造经过MN且与平面ADE平行的平面G1.构造平行平面MNG2.运用面面平行的性质定理证明MN//平面ADE.ABCDEMNG证明：取EB中点G，连结MG、NG．因为M、N分别为CE、AB的中点，所以NG∥AE，MG∥BC．因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC．所以MG∥AD．因为NG、MG平面ADE，AD、AE平面ADE，所以NG∥平面ADE，MG∥平面ADE．因为MG∩NG＝G，MG、NG平面MNG，所以平面MNG∥平面ADE．因为MN平面MNG，所以MN∥平面ADE．说明证明线面平行一般都可以通过以上三种策略来实现线线平行或面面平行到线面平行的转化，究竟选择哪一种方法，应根据图形的特点.练习1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AB中点，求证：BC1//平面A1CD．ABDCA1B1C1O利用“中心投影”证明：连结AC1交A1C于点O，连结OD．因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．因为D为AB的中点，所以OD∥BC1．因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1//平面A1CD．ABDCA1B1C1OFADBCPE利用“平行投影”练习2．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD．证明：取PD中点F，连结EF，AF．因为E是PC的中点，F是PD的中点，所以EF∥CD，且CD＝2EF．又因为AB∥CD，CD＝2AB，所以EF∥＝AB，即四边形ABEF是平行四边形．因此BE∥AF．又AF平面PAD，BE平面PAD，所以BE∥平面PAD．CDABPEFADBCPEF利用“中心投影”练习2．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD．证明：延长DA、CB，交于点F，连结PF．因为AB∥CD，CD＝2AB，所以B为CF的中点．又因为E为PC的中点，所以BE∥PF．因为PF平面PAD，BE平面PAD，所以BE∥平面PAD．CDABPEFADBCPE练习2．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD．F构造“面面平行”证明：取CD中点F，连结EF，BF．因为E为PC中点，F为CD中点，所以EF∥PD．因为PD平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD．因为F为CD中点，所以CD＝2FD．又CD＝2AB，AB∥CD，故AB∥＝FD，即四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD．因为AD平面PAD，BF平面PAD，所以BF∥平面PAD．因为BF∩EF＝F，BF，EF平面BEF，所以平面BEF∥平面PAD．因为BE平面BEF，所以BE∥平面PAD．ABCDPEF例2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BE上．若DE//平面ACF，求BFBE的值．ABCDEFBFBE（1）要求什么？（2）有什么？DE//平面ACF（4）寻找解题思路通过平行线分线段成比例定理求解（3）能得到什么？线线平行…策略经过DE作平面与平面ADE相交，将线面平行转化为线线平行，然后利用平行线分线段成比例定理，探求答案，该平面的作法依然利用“平行投影”或“中心投影”.ABCDEFO1.在平面ACF中找到与DE平行的直线2.利用平行线分线段成比例定理求解ABCDEFO解：连结BD交AC于点O，连结OF．因为DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE//OF．又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即BFBE＝12．练习3．如图，在四棱锥P－ABCD中，CD∥AB，ADAB，AD＝DC＝12AB，试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．PABCDEM方法一练习3．如图，在四棱锥P－ABCD中，CD∥AB，ADAB，AD＝DC＝12AB，试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．PABCDMN方法二PABCDME方法三总结一关于立体几何中的平行问题：核心：线线、线面、面面平行．策略：（1）利用“平行投影”找线线平行；（2）利用“中心投影”找线线平行；（3）构造面面平行．典型问题二垂直问题垂直问题主要是线线垂直、线面垂直和面面垂直，其中线面垂直是重点，线线垂直与面面垂直是难点.线线垂直线面垂直面面垂直如何证明线线、线面、面面垂直？例3．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．求证：AE⊥BE.ABDCEF（1）要证什么？（2）需要什么？AE⊥BE△AEB是直角三角形，AE⊥平面BEC或BE⊥平面AED（3）有什么？BF⊥平面AEC，平面ABCD⊥平面ABE（4）能得到什么？BF⊥AE，BC⊥平面ABE（5）确定证明思路证明：因为ABCD是矩形，所以BC⊥AB．因为平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC平面ABCD，所以BC⊥平面ABE．因为AE平面ABE，所以BC⊥AE．因为BF⊥AEC，AE平面AEC，所以BF⊥AE．因为BF∩BE＝B，BF、BE平面EBC，所以AE⊥平面EBC．因为BE平面BEC，所以AE⊥BE．ABDCEF例4．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．ADBCP（1）要证什么？PA⊥平面ABCDPA垂直于平面ABCD内的两条相交直线（3）有什么？AB⊥平面PAD，AD⊥PB（4）能得到什么？AD⊥平面PAB（2）需要什么？（5）确定证明思路证明：因为AB⊥平面PAD，PA，AD平面PAD，所以AB⊥AD，AB⊥PA．又因为AD⊥PB，AB∩PB＝B，所以AD⊥平面PAB．又PA平面PAB，所以AD⊥PA．因为AB∩AD＝A，故PA⊥面ABCD．ADBCP例5．如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝2BC，E为AB的中点，若点P在平面ABCD内的正投影O在AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE.ABCDEPO题意分析ABCDEPO（1）要证什么？（2）需要什么？平面PAC⊥平面PDE其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面（3）有什么？PO⊥平面ABCD；矩形ABCD中，（4）能得到什么？AB＝2BCPO⊥DE（5）确定证明思路证明：设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝DCDA＝2．又∠DAE＝∠CDA＝90°，所以△DAE≌△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由三角形DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．因为点P在平面ABCD内的正投影O在AC上，所以PO⊥平面ABCD．因为DE平面ABCD，所以PO⊥DE．因为PO∩AC＝O，PO，AC平面AC，所以DE⊥平面PAC，又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．ABCDEPOG总结二关于立体几何中的垂直问题：核心：线线、线面、面面垂直．策略：线线垂直线面垂直面面垂直典型问题三空间线面位置关系的判断空间线面间的位置关系的判断是高考中经常考查的内容.（1）准确掌握各种性质定理和判定定理所需要的条件；（2）平面几何中的结论类比到空间后不一定正确；（3）充分利用身边的笔、手掌、桌面等实物进行模拟．判断时应注意什么？例6．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若lα，mα，l∥β，m∥β，则α∥β；②若lα，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若lα，m∥l，α∥β，则mβ．其中真命题是(写出所有真命题的序号)．l与m相交lβ②④例7．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l∥m，mα，则l∥α；③若lα，mβ，α∥β，则l∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ．其中真命题是(写出所有真命题的序号)．lαl与m共面①④例8．已知、是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥，a⊥；②存在一个平面，⊥，⊥；③存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥；④存在两条异面直线a，b，a，b，a∥，b∥．其中是平面∥平面的充分条件的为．（填上所有符合要求的序号）①④α∥βα∥β或α与β相交α∥β或α与β相交α∥β练习4．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的有(填写所有真命题的序号)．②③④练习5．已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC””的条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个)．充分不必要总结三关于空间线面位置关系的判断问题：核心：各种位置关系的判断．策略：（1）准确掌握定理所需要的条件；（2）注意推理的严密性；（3）利用实物进行模拟．实战演练1．(2011江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.（2）连结BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD