浙江大学概率论与数理统计第六章

第一节随机样本一、总体与个体二、随机样本的定义三、小结一、总体与个体1.总体试验的全部可能的观察值称为总体.在研究2000名学生的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体.2.个体总体中的每个可能观察值称为个体.实例1某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中,个体的总数就是10月份生产的灯泡数,这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.3.有限总体和无限总体实例2当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地将它看成是无限总体.4.总体分布在2000名大学一年级学生的年龄中,年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”的依次有9，21，132，1207，588，43名,它们在总体中所占比率依次为实例3,20009,200021,2000132,20001207,2000588,200043即学生年龄的取值有一定的分布.一般地,我们所研究的总体,即研究对象的某项数量指标X,其取值在客观上有一定的分布,X是一个随机变量.总体分布的定义我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布.如实例3中,总体就是数集{15,16,17,18,19,20}.总体分布为200043200058820001207200013220002120009201918171615比率年龄二、随机样本的定义1.样本的定义.,)(,,,,,,,,2121简称样本随机样本的简单得到的容量为、或总体或总体为从分布函数则称随机变量、相互独立的是具有同一分布函数若的随机变量是具有分布函数设nXFFXXXFXXXFXnn.,,,,21个独立的观察值的又称为称为样本值它们的观察值nXxxxn2.简单随机抽样的定义获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.根据定义得:,,,,21的一个样本为若FXXXn的联合分布函数为则nXXX,,,21).(),,,(*121niinxFxxxF,fX具有概率密度又若的联合概率密度为则nXXX,,,21).(),,,(*121niinxfxxxf.),,,(,),,,(,)0(2121的概率密度求样本是来自总体的样本布的指数分服从参数为设总体nnXXXXXXX解的概率密度为总体X,0,0,0,e)(xxxfx,,,,,21有相同的分布且与相互独立因为XXXXn的概率密度为所以),,,(21nXXX)(),,,(121niinnxfxxxf.,0,0,e1其他ixnxnii例4.),,,(,),,,(,10),,1(2121的分布律求样本是来自总体的样本其中服从两点分布设总体nnXXXXXXppBX解的分布律为总体X,,,,21相互独立因为nXXXiippiXP1)1(}{)1,0(i,有相同的分布且与X的分布律为所以),,,(21nXXX例5},,,{2211nnxXxXxXP}{}{}{2211nnxXPxXPxXPniiniixnxpp11)1(.}1,0{,,,21中取值在集合其中nxxx三、小结个体总体有限总体无限总体基本概念:说明1一个总体对应一个随机变量X,我们将不区分总体和相应的随机变量,统称为总体X.说明2在实际中遇到的总体往往是有限总体,它对应一个离散型随机变量;当总体中包含的个体的个数很大时,在理论上可认为它是一个无限总体.随机样本第二节抽样分布一、基本概念二、常见分布三、小结一、基本概念1.统计量的定义.),,,(,,,,,),,,(,,,,21212121计量是一个统则称不含未知参数中若的函数是的一个样本是来自总体设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),,,(),,,(,,,,,,,21212121的观察值是则称的样本值是相应于样本设nnnnXXXgxxxgXXXxxx?,,,,),(,,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设NXXX,11XT,3212XeXXT),(313213XXXT),,,max(3214XXXT,2215XXT).(123222126XXXT是不是实例12.几个常用统计量的定义.,,,,,,,2121是这一样本的观察值是来自总体的一个样本设nnxxxXXX(1)样本平均值;11niiXnX(2)样本方差niiXXnS122)(11.11122niiXnXn.11niixnx其观察值其观察值niixxns122)(11.11122niixnxn(3)样本标准差;11122niiXXnSS其观察值.)(1112niixxns(4)样本k阶(原点)矩;,2,1,11kXnAnikik其观察值.,2,1,11kxnnikik(5)样本k阶中心矩;,3,2,)(11kXXnBnikik其观察值.,3,2,)(11kxxnbnikik.,2,1,,,)(kAnXEkXkPkkk时则当存在记成阶矩的若总体证明,,,,21同分布独立且与因为XXXXn,,,,21同分布独立且与所以kknkkXXXX.)()()(21kknkkXEXEXE故有辛钦定理再根据第五章辛钦定理知由以上定义得下述结论:由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),,,,(),,,(2121kPkgAAAg.是连续函数其中g;,2,1,11kXnkPniki以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.3.经验分布函数.)(分布函数相应的统计量称为经验总体分布函数xF经验分布函数的做法如下:,,,,21的一个样本是总体设FXXXn,,,,)()(21的随机变量的个数于中不大表示用xXXXxxSn)(为定义经验分布函数xFn)(),(1)(xxSnxFn.)(,的观察值容易求得对于一个样本值xFn).)()((表示的观察值仍以xFxFnn实例2,3,2,1具有一个样本值设总体F)(3的观察值为则经验分布函数xF.3,1,32,32,21,31,1,0)(3xxxxxF实例3,2,1,1具有一个样本值设总体F)(3的观察值为则经验分布函数xF.2,1,21,32,1,0)(3xxxxF一般地，,,,,21样本值的一个容量为是总体设nFxxxn,,,,21按自小到大的次序排列先将nxxx,并重新编号,)()2()1(nxxx)(的观察值为则经验分布函数xFn.,1,,,,0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF.10)()(suplim,)(1)(,,xFxFPxFxFnxnxnn即一致收敛于分布函数以概率时当对于任一实数.)(,)()(,使用来从而在实际上可当作只有微小的差别与总体分布函数数的任一个观察值经验分布函时充分大当对于任一实数xFxFxFnxn格里汶科格里汶科定理分布的概率密度为)(2n.00,e)2(21)(2122其他yynyfynn证明,2,21)1(2分布分布即为因为),1,0(~NXi又因为),1(~22iX由定义.,,2,1,2,21~2niXi即.)(2图分布的概率密度曲线如n,,,,21相互独立因为nXXX,,,,22221也相互独立所以nXXX分布的可加性知根据niiX122.2,2~n分布的性质2性质1).(~,,),(~),(~2122221222122221221nnnn则立独并且设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)).(~,),,2,1(),(~21212222mmiiiiinnnmin则独立相互并且设性质2.2)(,)(),(~2222nDnEn则若证明),1,0(~NXi因为,1)()(2iiXDXE所以2242)]([)()(iiiXEXEXD,123.,,2,1niniiXEE122)(故niiXE12)(,nniiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的分位点2.)()(d)()}({,10,22)(222分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的正数nnyyfnPn.,,分位点的值得上可以通过查表求对于不同的n,deπ21}{)1,0(),1,0(22xzXPzNNXzx满足分位点的上服从标准正态分布设.,可通过查表完成的值求z05.0z附表2-1025.0z根据正态分布的对称性知.1zz,645.1,96.1附表2-2例1分位点满足的上设)(),(~22nnZ,d);()}({)(222nynynZP.,)(2可通过查表完成的值求n)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0附表4-1附表4只详列到n=45为止.,535.17,247.3附表4-2.382.34附表4-3例2在Matlab中求解..)12(21)(,22分位点是标准正态分布的上其中充分大时当znznn例如2205.0)99645.1(21)50(.221.67利用上面公式,费舍尔资料而查详表可得.505.67)50(205.0.,45分位点的近似值上时可以求得n费舍尔(R.A.Fisher)证明:).(~,/,,),(~),1,0(~2ntttnnYXtYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设t分布又称学生氏(Student)分布.学生氏资料tntnnnthn,12π21)(212分布的概率密度函数为)(nt分布t2.随机数演示分布函数与密度函数演示图分布的概率密度曲线如t.0对称的显然图形是关于t当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,eπ21)(lim22tnth因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布与但对于较小的Ntn.)()(d)()}({,10,)(分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的ntnttthnttPnt.分位点的值得上可以通过查表求由分布的对称性知).()(1ntnt.)(,45zntn时当分布的分位点t分位点满足的上设)(),(~ntntT,d);()}({)(ntynytntTP.,)(可通过查表完成的值求nt)10(05.0t附表3-1,8125.1)15(025.0t.1315.2附表3-2例3在Matlab中求解).,(~,),(//,,),(~),(~2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为布分的服从自由度为随机变量则称独立且设分布F3.随机数演示分布函数与密度函数演示分布的概率密度为),(21nnF.,0,0,1222)(2212112221212111其他ynynnnynnnnynnnn图分布的概率密度曲线如F根据定义可知,).,(~1),,(~1221nnFFnnFF则若分布的分位点F.),(),(d)()},({