73第三节 复合求积公式

数学学院信息与计算科学系从牛顿—柯特斯公式的余项可知，被积函数所用的插值多项式的次数越高，相应的求积公式的代数精度越高，但对于求积公式的数值稳定性不能保证，因此，避免使用高次插值多项式.而积分区间越小，则求积公式的截断误差也越小，因此，为了提高数值积分的精度，经常把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上使用次数不高的牛顿—柯特斯公式，如梯形公式或抛物线公式，然后把结果加起来得到整个区间上的求积公式，这种求积公式称为复合求积公式.第三节复合求积公式数学学院信息与计算科学系一、复合求积法将积分区间[a,b]n等分,步长h=(b-a)/n，节点为xk=a+kh,k=0,1,…,n，则在每个子区间[xk,xk+1]上的积分用梯形公式，得110()d()dkknbxaxkIfxxfxx110()()2nkkkhfxfx11()2()()2nknkhfafxfbT称为复合梯形公式.记1.复合梯形公式数学学院信息与计算科学系11()2()()2nnkkhTfafxfb若f(x)C2[a,b],其求积余项为321100()()1212nnnkkkkbahhRITffn322()()(),1212babaffhnnabh[,],ab数学学院信息与计算科学系2.复合辛卜生公式将积分区间[a,b]2n等分,步长h=(b-a)/2n，节点为xk=a+kh,k=0,1,…,2n，则在每个子区间[x2k,x2k+2]上的积分用辛卜生公式，得22210()d()dkknbxaxkIfxxfxx1221220()4()()3nkkkkhfxfxfx1122110[()2()4()()]3nnkknkkhfafxfxfbS数学学院信息与计算科学系称为复合辛卜生公式.记1122110[()2()4()()]3nnnkkkkhSfafxfxfb2bahn若f(x)C4[a,b],其求积余项为54(4)(4)4()()()1802880babahffn[,]ab5511(4)(4)001()()90902nnnkkkkbahRISffn数学学院信息与计算科学系例1计算定积分(保证5位有效数字)10dxIex(1)用复合梯形公式计算，需将积分区间多少等分？(2)用复合辛卜生公式计算，需将积分区间多少等分？用上面的误差估计式，可以判断计算时取多大步长就可以达到精度要求.解由f(x)=ex,有f(x)=f(4)(x)=ex,因为b-a=1,所以当0≤x≤1时(4)()()fxfxe数学学院信息与计算科学系(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有3422()1()1012122baeRfnn21067.3087,6en计算有故取n=68，即将区间[0,1]进行68等分就满足要求.(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有5(4)444()1()10288028802baeRfnn故取n=3，即将区间[0,1]进行6等分就满足要求.41440102.08441,en计算有数学学院信息与计算科学系例2分别用复合梯形公式和复合辛卜生公式,计算积分102d14xxI解我们先看这个定积分的精确解下面用同样的9个函数值,计算S4和T8的值112004d4arctan1Ixxx4arctan143.141592654数学学院信息与计算科学系用复合梯形公式，这里a=0,b=1，取n=881788111()2()()(0)2()(1)216kkkkhTfafxfbfff1,8bahn(0,1,,8)8kkxakhkhk24(),1fxx函数为计算得772222118144413642216101()114264kkkk=3.1389886≈3.14数学学院信息与计算科学系用复合辛卜生公式，这里a=0,b=1，取n=41,28bahn(0,1,,8)8kkxakhkhk24(),1fxx函数为计算得4141422110()2()4()()3kkkkhSfafxfxfb3310121(0)24(1)2448kkkkffff数学学院信息与计算科学系由此可见同样用9个函数值,但S4比T8的值要精确，故Sn比Tn的收敛速度要快.=3.1415925332222211048144442424101()1()11kkkk33221013166424621664(21)kkkk数学学院信息与计算科学系复合梯形公式的截断误差随n的增大而减小，但对于一个给定的积分，选定了某种求积方法后，如何确定适当的n，使得计算结果达到预先给定的精度要求呢？当然可以用前面的误差估计来求n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.二、变步长复合求积法数学学院信息与计算科学系在实际中，常采用积分步长h的自动选取，具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半，反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是一种事后估计误差的方法.数学学院信息与计算科学系对复合梯形公式，将区间[a,b]n等分的余项式为21()12nbaIThf两式相除为将区间[a,b]2n等分的余项式为222()122nbahITf2112222()()124()()122nnbahfITfITfbahf数学学院信息与计算科学系2112222()()124()()122nnbahfITfITfbahf42nnTITI这就是复化梯形法的事后误差估计式.22141nnnITTT即有设f(x)在[a,b]上变化不太大,即则得12()(),ff数学学院信息与计算科学系221()3nnnITTT因此对给定的误差限,只要2nnTT则可认为T2n已满足精度要求.下面设hn=(ba)/n,xk=a+khn(k=0,1,…,n),在[xk,xk+1]上用梯形公式得)()(211kknxfxfhT数学学院信息与计算科学系在[xk,xk+1]上加一个中点xk+1/2,用复合梯形公式得21/21/2[()2()()]2nkkkhTfxfxfx所以有)(2212/112knxfhTT从0到n1对k累加求和得121/201()22nnnnkkhTTfx这就是递推化(变步长)的复合梯形公式.11/2()[(1)](21)222kknnkxxakhakhbaxakn数学学院信息与计算科学系类似由复合辛卜生公式的余项式，只要设f(4)(x)在[a,b]上变化不太大,就可得到这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式.进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛顿-柯特斯公式.这里就不在赘述了.222141nnnISSS4(4)(4)12214(4)22(4)2()()18044()()1802nnbahfISfISfbahf得到