3-9.函数模型与应用(指数对数幂函数)

RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考纲要求考情分析1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和大纲中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法，此类问题一般涉及到的知识点比较多，综合性较强，属中高档题，题型以解答题为多，如2011年湖南、湖北卷，但也有选择题和填空题.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P42)知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表示为与y轴平行一样随x增大逐渐表现为与x轴平行一样随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnaxRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）问题探究：幂指对数函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞)上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？提示：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使xx0时有axxnlogax.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解析：因指数函数型增长快，又e2.则应选A.答案：A自主检测1．下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2xRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）2．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2010年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2011年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()A．3万～4万元B．4万～5万元C．5万～6万元D．2万～3万元解析：设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64，∴x＝138640040＝34660.答案：ARJ·A版·数学新课标高考总复习（理）3．2004年6月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算，到2012年6月30日可取回()A．a(1＋x)8元B．a(1＋x)9元C．a(1＋x8)元D．a＋(1＋x)8元解析：由已知一年后可取回a(1＋x)元二年后可取回a(1＋x)2元，∴2012年6月30日可取回a(1＋x)8元．答案：ARJ·A版·数学新课标高考总复习（理）4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()解析：当h＝H时，体积为V，故排除A、C，又当开始阶段，由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积减少的越来越多，故D不满足要求．答案：BRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）5．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表所示：表1市场供给表表2市场需求表单价/(元/kg)22.42.83.23.64供给量/(1000kg)506070758090单价/(元/kg)43.42.92.62.32需求量/(1000kg)506065707580RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析：供给量和需求量相等时西红柿的价格应在(2.6,2.8)内．答案：CRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P42)考点1一次函数与二次函数模型的应用1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】(1)由题意知0x≤210每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2)设年总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值，为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴当年产量为210吨时，可以获得最大利润，最大利润为1660万元．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）在实际问题中优化、面积、利润、产量等问题常与二次函数有关，可建立二次函数模型，常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问题．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车辆每月需要维护费200元．(1)当每辆车月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x(x≥3000)元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－300050)(x－200)，整理得f(x)＝150(8000－x)(x－200)＝－150x2＋164x－32000＝－150(x－4100)2＋304200.所以，当x＝4100时，f(x)最大．最大值为f(4100)＝304200，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考点2分段函数模型1.现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．3．构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏，分段函数也是分类讨论问题．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例2(2011年湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x－v(x)可达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60.解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝600≤x20，13200－x，20≤x≤200.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x20，13x200－x，20≤x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13[x＋200－x2]2＝100003，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2011年湖南高考)如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为110；(2)其它面的淋雨量之和，其值为12，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝32时，(1)写出y的表达式；(2)设0v≤10,0c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解：(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为320|v－c|＋12，故y＝100v(320|v－c|＋12)＝5v(3|v－c|＋10)．(2)由(1)知，当0v≤c时，y＝5v(3c－3v＋10)＝53c＋10v－15；当cv≤10时，y＝5v(3v－3c＋10)＝510－3cv＋15.故y＝53c＋10v－15，0v≤c，510－3cv＋15，cv≤10.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）①当0c≤103时，y是关于v的减函数，故当v＝10时，ymin＝20－3c2.②当103c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数．故当v＝c时，ymin＝50c.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考点3y＝x＋ax模型函数y＝x＋ax(a0)也称为“对勾”函数．解决“对勾”函数的最值问题通常利用基本不等式，但特别要注意基本不等式中等量成立的条件，如若等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例3(2010年湖北高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不