(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》

2.4等比数列第二章第2课时等比数列的性质1.已知{an}为等比数列，则对于任意正整数n，都有an＋1an＝________.[答案]q2．已知{an}为等比数列，则对于任意正整数n、m都有anam＝________.[答案]qn－m1.等比数列主要有以下性质：(1)若{an}是公比为q的等比数列，c为非零常数，则数列{can}仍是等比数列，且公比不变仍为q.(2)若{an}是公比为q的等比数列，则数列{1an}是公比为1q的等比数列，数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．(3)若数列{an}，{bn}是公比分别为q，q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列．(4)若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)．则am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，am·an＝a2p；若{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积，即a1an＝a2an－1＝….(5)若{an}为等比数列，公比为q，则an＝amqn－m(m，n∈N*)．(6)若{an}是等比数列，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为qk＋1.(7)在等比数列{an}中，连续取相邻k(k∈N*)项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．(8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比数列．(9){an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0，a≠1)是等差数列．(1)等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________；(2)已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝()A．5B．10C．15D．20[答案](1)4(2)A[解析](1)由等比数列的性质，得a25＝a3a7＝16，∵a30，a70，∴a50，∴a5＝4.(2)由等比数列的性质，得a4a6＝a25，a2a4＝a23，∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25，＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴a3＋a5＝±5.∵an0，∴a3＋a5＝5.2．等比数列的单调性(1)当a10，q1或a10,0q1时，等比数列{an}为递增数列；(2)当a10,0q1或a10，q1时，等比数列{an}为递减数列；(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；(4)当q0时，数列{an}是摆动数列．等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的条件是()A．|q|1B．a10，q1C．a10,0q1或a10，q1D．q1[答案]C[解析]等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定．由an＋1－an＝a1qn－1(q－1)0，得a10,0q1，或a10，q1.3．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设aq3，aq，aq，aq3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为________．[答案]3,6,12,24[解析]设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，∴2aq－1＝a－1＋aq2－42aq2－4＝aq－1＋aq3－13，整理得aq－12＝3aqq－12＝6，解得q＝2，a＝3.因此所求四个数为3,6,12,24.等比数列的性质在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝__________.[答案]512[解析]由等比数列的性质，得a3a8＝a4a7＝－512，由a3＋a8＝124a3a8＝－512，得a3＝－4a8＝128或a3＝128a8＝－4.∵q为整数，∴a3＝－4，a8＝128.∴q5＝a8a3＝128－4＝－32，∴q＝－2.∴a10＝a8·q2＝128×4＝512.(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__________.(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________.[答案](1)25(2)1或64[解析](1)解法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.解法二：由已知得a1q6·a1q11＝a21q17＝5，∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a41·q34＝(a21·q17)2＝25.(2)∵a1a9＝a3a7＝64，∴a3，a7是方程x2－20x＋64＝0的两根．解得a3＝4a7＝16或a3＝16a7＝4.①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝4，∴a11＝a7q4＝16×4＝64.②若a7＝4，a3＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝14，∴a11＝a7q4＝4×14＝1.故a11＝64，或a11＝1.对称法设未知项已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析]求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．[解析]设四个数为2aq－a、aq、a、aq，则由题意得a2q＝162aq－a·aq＝－128，解得a＝8q＝4或a＝－8q＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.[方法总结](1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第二个数为16x，则第一个数为32x－x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x的方程x316·32x－x＝－128，解之得x＝±8，则更简捷．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________．[答案]－4,2,8[分析]三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．[解析]由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可知此三数为－4,2,8.有关等比数列的开放探究题已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}定义为bn＝1n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)]，是否存在实数k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．[分析]先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式，再求bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？[解析]设数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]，解得bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk]＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋1n＋1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk]＝12lgq－1nn＋1lgk.要使数列{bn}为等差数列，只需k＝1，故存在实数k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．[方法总结]除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比数列；②若{an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0，a≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q；(2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．[解析](1)由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，得1＋d＝q1＋7d＝q2，解得q＝6d＝5或q＝1d＝0(舍去)．(2)假设存在a，b使得an＝logabn＋b成立，即有1＋5(n－1)＝loga6n－1＋B．整理，得(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0.∵an＝logabn＋b对一切正整数n恒成立．∴5－loga6＝04＋b－loga6＝0，∴a＝56，b＝1.利用等比中项性质时忽视符号判断在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．[错解]设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4.由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，则a23＝a1a5＝1×4＝4，故a3＝±2，∴a2a3a4＝a33＝±8.[错因分析]该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择．[正解]设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4.由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，则a23＝a1a5＝1×4＝4，又∵a3＝a1q20，故a3＝2，∴a2a3a4＝a33＝8.等比数列的性质等比数列的性质等比数列与等差数列的关系