同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:tancossin,1cossin22，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sincos1(2)商数关系：sintancos(3)倒数关系：tancot1，sincsc1，cossec1要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin是2(sin)的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形：2222sin1coscos1sin，，212sincos(sincos)2．商数关系式的变形sinsincostancostan，。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。【思路点拨】先利用sintan2cos,求出sin=－2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。【解析】解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。①又sin2+cos2=1，②由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即21cos5。当为第二象限角时，5cos5，代入①得25sin5。当为第四象限角时，5cos5，代入①得25sin5。解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。又由sintancos，平方得222sintancos。∴2222sin1tan11coscos，即221cos1tan。当为第二象限角时，22115cos1tan1(2)5。525sintancos(2)55。当为第四象限角时，22115cos1tan1(2)5。525sintancos(2)55。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知A是ABC的一个内角，且5tan4A，求sin,cos.AA【思路点拨】根据tan0A可得A的范围：2A再结合同角三角函数的关系式求解.【解析】5tan0,4AA为钝角，sin0,cos0.AA由sintan,cosAAA平方整理得22211441cos,cos,411tan1tanAAAA5sintancos41.41AAA例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上，①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1。（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。（3）当|m|＜1且m≠0时，∵sin2=1―cos2=1―m2，∴①当角为第一象限角或第二象限角时，2sin1m，②当角为第三象限角或第四象限角时，2sin1m。【总结升华】当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二：利用同角关系求值例3．已知：tancot2,求：（1）sincos的值；（2）sincos的值；（3）sincos的值；（4）sin及cos的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）12（2）2（3）0（4）22,22或22,22【解析】（1）由已知sincos2cossin22sincos2sincos1sincos2（2）2sincos12sincos112sincos2（3）2sincos12sincos110sincos0（4）由sincos2sincos0，解得2sin22cos2或2sin22cos2【总结升华】本题给出了sincos,sincos及sincos三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sincos1这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知1sincos2，求下列各式的值：（1）221tantan；（2）sin3+cos3。【解析】因为1sincos2，所以2211(sincos)22，所以1sincos4。（1）222211sin2cos2tantan22tantansincos222122141sincos16（2）3322sincos(sincos)(sinsincoscos)11521482。【总结升华】对于已知sin±cos=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sincos=m2－1，联立以上两个式子解出sin，cos的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin±cos，sin·cos的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。例4．已知tan=3，求下列各式的值。（1）4sincos3sin5cos；（2）2222sin2sincoscos4cos3sin；（3）2231sincos42。【思路点拨】由已知可以求出sin,cos，进而代入得解，但过程繁琐。在关于sin,cos“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解.【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得，原式4tan1431113tan533514。（2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得，原式222tan2tan19231243tan43323。（3）用“1”来代换，原式222222313131sincostan929424242sincostan19140。【总结升华】①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；（2）已知4sin2cos65cos3sin11，求44cossin的值。【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，∴原式222sin3sincos(sincos)2222222sin3sincoscos2tan3tan11sincos1tan。（2）由4sin2cos65cos3sin11，得4tan2653tan11，解得：tan2∴442222cossin(cossin)(cossin)22222222cossin1tan143cossincossin1tan145。类型三：利用同角关系化简三角函数式例5．化简：44661cossin1cossin。【解析】解法一：原式224422366(cossin)cossin(cossin)cossin2222222cossin23cossin(cossin)3。解法二：原式44661(cossin)1(cossin)22222242241[(cossin)2cossin]1(cossin)(coscossinsin)22222222222112cossin2cossin21[(cossin)3cossin]3cossin3。解法三：原式2242246(1cos)(1cos)sin(1cos)(1coscos)sin2222244sin(1cossin)sin(1coscossin)2222222cos1cos(cossin)(cossin)2222222cos2cos21coscossin3cos3。【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三：【变式1】化简（1）12sincos,2,2sincos2kkkZ；（2）221sin21cos2；（3）22cos1cossin1sin；（4）1sin1sin1sin1sin【答案】（1）－1（2）cos2sin2（3）略（4）略【解析】（1）原式=2(sincos)|sincos|1sincossincos（2）原式=22cos2sin2|cos2||sin2|cos2sin2（3）原式=0,()cos|sin|2|cos|sin在第一象限或第三象限，（在第二象限）2，（在第四象限）（4）原式=22221sin1sin1sin1sin=1sin1sin|cos||cos|=2tan(22)2232tan(22)22kkkk，kz类型四：利用同角关系证明三角恒等式例6．求证：tansintansintansintansin。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【解析】证法一：右边22(tansin)(tansin)tansintansin(tansin)(tansin)tansin22222tantancostan(1cos)(tansin)tansin(tansin)tansin22tansintansin(tansin)tansintansin=左边。证法二：左边tansinsintantancos1cos，右边22tantancos1c