02力学基础

机械陀螺框架式陀螺静电陀螺振动陀螺需要解决的问题：1、理解陀螺仪的基本运动特性，定轴性，进动性（描述解释）2、建立起描述陀螺运动的动力学模型，利用其分析陀螺的运动规律（工程实用的前提）力学、运动学基础内容分类。1、和质点运动有关的2、和刚体运动（转动）有关的前者是后者的基础力学基础引论自由度：完全确定一个物体的位置所需要的独立坐标的数目广义坐标：为了完全确定物体的位置而选用的任意一组彼此独立的坐标参数运动方程：描述物体的坐标随时间变化规律的方程（组）)()()(321tfztfytfx轨迹方程：消去运动方程中的时间变量t所得到的方程（组）基本概念：自由度,广义坐标,运动方程速度：位置矢量的时间变化率。如果kzjyixR则kVjViVdtdRVzyx动量=mV加速度：kAjAiAdtdVazyx质点运动矢量：速度,动量,加速度运动的参照坐标系，和运动矢量的投影坐标系定点：刚体转动中的固定不变点实现方案：框架支撑、铰链、悬浮等坐标系转子（动）坐标系ox’y’z’基座（固定）坐标系OXYZ方向余弦矩阵（坐标变换阵）XYZx’C11C12C13y’C21C22C23z’C31C32C33刚体绕定点转动坐标系直接求取方向余弦矩阵比较困难，因此引入内框架坐标系oxyz和外框架坐标系ox1y1z1，借助坐标旋转旋转顺序：外框架坐标系ox1y1z1绕着外框架轴相对固定坐标系OXYZ转过α角内框架坐标系oxyz绕着内框架轴相对外框架坐标系ox1y1z1转过β角转子坐标系ox’y’z’绕着转子轴相对内框架坐标系OXYZ转过γ角刚体绕定点转动坐标系旋转求取外框架绕外框架轴相对固定坐标系转过α角，对应的坐标变换阵设矢量R在两个坐标系中的坐标分别是（X，Y，Z）和（x1，y1，z1），则根据投影关系x1=Xy1=Ycosα+Zsinαz1=-Ysinα+ZcosαZYXzyxcossin0sincos0001111刚体绕定点转动坐标变换（固→外）类似地，当内框架绕着内框架轴相对外框架转过β角，可以得到111cos0sin010sin0coszyxzyx当转子绕着转子轴相对内框架转过γ角，可以得到zyxzyx1000cossin0sincos'''刚体绕定点转动坐标变换（外→内,转）综合上述结果，可以得到从固定坐标系（基座）到转子坐标系的变换方程ZYXzyxcossin0sincos0001cos0sin010sin0cos1000cossin0sincos'''ZYXcoscoscossinsinsincos0sincossinsincos1000cossin0sincos刚体绕定点转动坐标变换（综合）刚体绕定点转动坐标变换（小角近似）当转角α、β、γ非常小时，可以近似得到ZYXzyx111'''ZYXcoscoscossinsinsincossinsincossinsinsincoscossincoscossincossinsinsincoscossinsincoscos刚体绕定点转动基座到内框架的变换研究陀螺仪的运动，实质是研究转子轴方向的变化规律。能准确反映转子轴变化规律的是内框架（而不是转子本身）。因此对陀螺仪来说，一般更关心的是内框架的运动规律。从固定坐标系到内框架坐标系的坐标变换方程为ZYXzyxcossin0sincos0001cos0sin010sin0cosZYXcoscoscossinsinsincos0sincossinsincos刚体绕定点转动转动方程的一般形式当转角α、β非常小时，可以近似得到ZYXzyx11001刚体绕定点转动的运动方程一般形式可以表示为)()()(321tFtFtF欧拉定理角速度欧拉定理：具有一个固定点的刚体，从一个位置到另一个位置的任何位移，可以绕通过这个固定点的某个轴，转过某一个角度的转动而得到平均角速度t*瞬时角速度*lim0t欧拉定理布桑公式以角速度ω绕固定点O转动的刚体内任意一点M的速度zyxkjiRVzyxkxyjzxiyzyxxzzy)()()(kvjvivzyx关于坐标系的说明既可是固定坐标系、也可是动坐标系如果M相对刚体移动呢？速度合成定理固定坐标系OXYZ；动作标系oxyz；动点M，求M在OXYZ中的绝对速度kzjyixRrRRo0kdtdzjdtdyidtdxdtdRVdtkdzdtjdydtidxrdtrdVVer~因为O对于o’无相对运动，所以可以把O选在任何位置速度合成定理苛氏转动坐标定理如果动坐标系和固定坐标系原点重合RdtRddtdRV~速度合成定理：当动坐标系系绕固定点转动时，动点对于固定坐标系的绝对速度等于动点对于动坐标系的相对速度和动坐标系的转动引起的牵连速度的矢量和。苛氏转动坐标定理：任何一个随时间变化的运动矢量B，对于固定坐标系的绝对变化率等于B对于动坐标系的相对变化率和由于动坐标系的转动引起的牵连变化率的矢量和：BdtBddtdB~加速度合成定理速度RdtRdV~加速度RdtRdRdtRddtdVdtVddtdVA~~~~)(~~~~22RdtRddtRdRdtddtRddtRdRRdtddtRd~2)(~~22kneerAAAAAr相对加速度；Aτe牵连切向加速度；Ane牵连法向加速度；Ak苛氏加速度加速度合成定理各项含义22~dtRdAr相对加速度：假设动坐标系静止，质点相对动坐标系牵连切向加速度：假设质点相对动坐标系静止，但动坐标系相对固定坐标系做加速转动引起的。)(RAne牵连向心加速度：假设质点相对动坐标系静止，动坐标系带动质点做圆周运动引起的。dtRdAk~2苛氏加速度：质点相对动坐标系的相对运动和动坐标系带着质点做牵连运动，二者相互影响引起的。RdtdAe~加速度合成定理例一：圆环运动说明：1、圆环位于动坐标系的xy平面内2、圆环绕中心轴（和z轴重合）相对动坐标系以角速度ωz匀速旋转。3、圆环同时随动坐标系绕x轴相对固定坐标系（未画出）匀速旋转。要求：请分析圆环各个位置的加速度分布情况。运动分解：相对运动：圆环绕自身的中心轴相对动坐标系xyz的转动牵连运动：圆环随动坐标系绕x轴的转动加速度合成定理例一：圆环相对加速度Ar（绿色）牵连切向加速度Aτe（零）牵连法向加速度Ane（蓝色）苛氏加速度Ak（红色）与相对加速度对应的力和力矩力：指向圆心，合力为零力矩：为零和牵连加速度对应的力和力矩力：指向x轴，合力为零力矩：绕z轴，合力矩为零和苛氏加速度对应的力和力矩力：平行于z轴，合力为零力矩：绕着y轴，合力矩沿负y轴加速度合成定理陀螺的进动及解释和上述例子的类比圆环→陀螺转子动坐标系→陀螺内框架力矩及影响分析欲使陀螺转子轴随着内框架绕内框架轴转动，须沿着外框架轴施加力矩T（而不是沿着内框架轴）沿着陀螺的外框架轴施加扭转力矩T，会引起陀螺仪的转子轴随着内框架轴绕内框架轴转动（而不是绕外框架轴转动）施加力矩方向和转子轴转动方向垂直，称为陀螺的进动现象加速度合成定理解释河流两岸冲刷北半球南北走向的河流，两岸冲刷程度不同北向河流：东岸冲刷比西岸严重南向河流：西岸冲刷比东岸严重利用苛氏加速度解释上述现象：对于北向河流，苛氏加速度Ak=2ω×Vr1、苛氏加速度向西，该苛氏加速度由河岸提供；2、河水对河岸有相应的反作用力，向东。动力学基础达朗贝尔原理牛顿第二定律：动力学中最基本的定律广义：)()(dtdRmdtdmVdtdF狭义：madtRdmdtdVmF22牛顿第三定律：作用力和反作用力定律达朗贝尔原理：F+Fu=0牛顿第三定律的另一种表达形式，通过引入惯性力，把动态（力不平衡）问题转换为了静态（力平衡）问题。绕定点转动的刚体：动量矩定义绕定点转动的刚体内质点M质量：m，位置：R，速度：V质点的动量=mV。质点动量矩h=R×mV刚体动量矩H=∑h=∑(R×mV)用坐标分量的形式展开，其中kzjyixRkjizyxRV绕定点转动的刚体：质点动量矩xyzxyzzyxkjiRVyxxzzyzyxxyzxyzzyxkjimmVRhyxxzzy)()()()()()()()()(222222yxyzxzxyzxyzxzxyzymyyzxzxxxyzyzzzxyxymzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxyxyzxzxyzxyzxzxyzym)()()(222222绕定点转动的刚体：刚体动量矩刚体的动量矩zyxyxyzxzxyzxyzxzxyzymhH)()()(222222Iyxmyzmxzmxymzxmyzmxzmxymzymzyx)()()(222222矩阵I称刚体的转动惯量矩阵；元素包括主转动惯量和离心转动惯量如果刚体对于坐标系的三个坐标平面都对称，那么对应每个轴的的离心转动惯量都等于零kJjJiJHzzyyxxH与ω的方向之间的关系动量矩定理刚体动量矩的变化率和外加力矩之间的因果关系。动量矩的变化率)(mVRdtddtdH)(mVdtdRdtdVmR)()(mVVmaR因ma=F，及V×V=0，所以MFRdtdH)(M：作用在刚体上的全部外力对于固定点O的总力矩动量矩定理：刚体对于任意一个固定点的动量矩变化率等于刚体所受外力对该固定点的力矩矢量和。动量矩定理的坐标分量形式zzyyxxMdtdHMdtdHMdtdH动量矩守恒定理：当M=0，则0dtdH刚体绕定点转动的欧拉动力学方程1研究刚体的运动经常需要用到动坐标系，且刚体的动量矩H在动坐标系中表示往往更方便当动坐标系和绕定点转动的刚体相固连，且动坐标系的三个轴又是刚体的惯性主轴时，有：kJjJiJHzzyyxx而动量矩定理中，动量矩的变化率又是相对固定坐标系的。从动坐标系到固定坐标系的转换，需要借助苛氏坐标转动定理：Hd