高中数学选修2-1综合试卷

第1页，共8页数学选修2-1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.椭圆𝑥216+𝑦225=1的焦点坐标为()A.(0,±3)B.(±3,0)C.(0,±5)D.(±4,0)2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于()A.12B.√22C.√2D.23、在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，异面直线𝐴1𝐵与𝐴𝐷1所成角的大小为()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘4、△𝐴𝐵𝐶中，𝐵(−4,0)，𝐶(4,0)，|𝐴𝐵|+|𝐴𝐶|=10，则顶点A的轨迹方程是()A.𝑥225+𝑦29=1(𝑥≠±3)B.𝑥225+𝑦29=1(𝑥≠±5)C.𝑥225+𝑦216=1(𝑥≠±3)D.𝑥225+𝑦216=1(𝑥≠±5)5.已知𝑃(8,𝑎)在抛物线𝑦2=4𝑝𝑥上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A.2B.4C.8D.166.命题“∃𝑥0∈𝑅，𝑥0+cos𝑥0−𝑒𝑥01”的否定是()A.∃𝑥0∈𝑅，𝑥0+cos𝑥0−𝑒𝑥01B.∃𝑥0∈𝑅，𝑥0+cos𝑥0−𝑒𝑥0≥1C.∀𝑥∈𝑅，𝑥+cos𝑥−𝑒𝑥≥1D.∀𝑥∈𝑅，𝑥+cos𝑥−𝑒𝑥≤17.给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若𝑎𝑏，则2𝑎2𝑏−1”的否命题为“若𝑎≤𝑏，则2𝑎≤2𝑏−1”；③“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+1≥1”的否定是“∃𝑥∈𝑅，𝑥2+11”；④在△𝐴𝐵𝐶中，“𝐴𝐵”是“sin𝐴sin𝐵”的充要条件．其中正确的命题的个数是()A.1B.2C.3D.48.椭圆𝑥216+𝑦29=1中，以点𝑀(1,2)为中点的弦所在直线斜率为()A.916B.932C.964D.−9329.若A点坐标为(1,1)，𝐹1是椭圆5𝑥2+9𝑦2=45的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|的最大值为()A.6−√2B.6+√2C.5+√2D.7+√210.若点O和点F分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为()A.2B.3C.6D.811.直线l：𝑥−2𝑦−5=0过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为()A.𝑥220−𝑦25=1B.𝑥25−𝑦220=1C.𝑥24−𝑦2=1D.𝑥2−𝑦24=1第2页，共8页12.四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为直角梯形，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐵𝐶//𝐴𝐷，且𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐴𝐷=3，𝑃𝐴⊥平面ABCD且𝑃𝐴=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为()A.√427B.√77C.√33D.√63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线𝑥2=12𝑦 的准线方程为_______．14.若方程𝑥24−𝑘+𝑦2𝑘−1=1的曲线是椭圆，则k的取值范围是______．15.“𝑎=3”是“直线2𝑥+𝑎𝑦+1=0和直线(𝑎−1)𝑥+3𝑦−2=0平行”的______条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)16.给出下列命题：①直线l的方向向量为𝑎⃗⃗=(1,−1,2)，直线m的方向向量𝑏⃗=(2,1，−12)，则l与m垂直；②直线l的方向向量𝑎⃗⃗=(0,1，−1)，平面𝛼的法向量𝑛⃗⃗=(1,−1,−1)，则𝑙⊥𝛼；③平面𝛼、𝛽的法向量分别为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(0,1，3)，𝑛2⃗⃗⃗⃗=(1,0，2)，则𝛼//𝛽；④平面𝛼经过三点𝐴(1,0，−1)，𝐵(0,1，0)，𝐶(−1,2，0)，向量𝑛⃗⃗=(1,u，𝑡)是平面𝛼的法向量，则𝑢+𝑡=1．其中真命题的是______.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.命题P：函数𝑦=lg(−𝑥2+4𝑎𝑥−3𝑎2)(𝑎0)有意义，命题q：实数x满足𝑥−3𝑥−20．(1)当𝑎=1且𝑝∧𝑞为真，求实数x的取值范围；(2)若￢𝑝是￢𝑞的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.已知命题p：“曲线𝐶1：𝑥2𝑚2+𝑦22𝑚+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线𝐶2：𝑥2𝑚−𝑡+𝑦2𝑚−𝑡−1=1表示双曲线”．(1)若命题p是真命题，求m的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．第3页，共8页19.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为𝐹(1,0)，离心率等于12(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆右焦点且倾斜角为45∘的直线与椭圆交于AB两点，求AB的长．20.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0.𝑏0)的离心率为√3，虚轴端点与焦点的距离为√5．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线𝑥−𝑦+𝑚=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆𝑥2+𝑦2=5上，求m的值．第4页，共8页21.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，四边形𝐴𝐶𝐶1𝐴1和𝐵𝐶𝐶1𝐵1均为正方形，且所在平面互相垂直．(Ⅰ)求证：𝐵𝐶1⊥𝐴𝐵1；(Ⅱ)求直线𝐵𝐶1与平面𝐴𝐵1𝐶1所成角的大小．22.如图，棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面ABCD是矩形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝑃𝐴=𝐴𝐷=2，𝐵𝐷=2√2．(1)求证：𝐵𝐷⊥平面PAC；(2)求二面角𝑃−𝐶𝐷−𝐵余弦值的大小；(3)求点C到平面PBD的距离．2-1数学1【答案】A解：根据题意，椭圆的方程为𝑥216+𝑦225=1，其焦点在y轴上，且𝑎=√25=5，𝑏=√16=4，则𝑐=√25−16=3，则椭圆的焦点为(0,±3)；2、【解析】解：∵椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，∴𝑏=𝑐第5页，共8页∴𝑎=√𝑏2+𝑐2=√2𝑐∴𝑒=𝑐𝑎=𝑐√2𝑐=√22故选B．3.【解析】解：∵𝐴1𝐵//𝐷1𝐶，∴异面直线直线𝐴1𝐵与𝐴𝐷1所成的角为∠𝐴𝐷1𝐶，∵△𝐴𝐷1𝐶为等边三角形，∴∠𝐴𝐷1𝐶=60∘．故选：C．由𝐴1𝐵//𝐷1𝐶，得异面直线𝐴1𝐵与𝐴𝐷1所成的角为∠𝐴𝐷1C.4.【答案】B解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐵(−4,0)，𝐶(4,0)，|𝐴𝐵|+|𝐴𝐶|=10，∴|𝐵𝐶|=8∵|𝐴𝐵|+|𝐴𝐶|=108=|𝐵𝐶|∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，𝑎=5，𝑐=4，则𝑏=3，所求椭圆方程为：𝑥225+𝑦29=1，𝑥≠±5．故选B．5.【解析】解：设点𝑃(8,𝑎)在抛物线𝑦2=4𝑝𝑥(𝑝0)上的射影为M，则𝑀(−𝑝2,𝑚)，依题意，|𝑃𝑀|=|𝑃𝐹|=10，即8−(−𝑝2)=10，∴𝑝=4.即点F到抛物线准线的距离等于4．故选：B．6.【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃𝑥0∈𝑅，𝑥0+cos𝑥0−𝑒𝑥01”的否定是：∀𝑥∈𝑅，𝑥+cos𝑥−𝑒𝑥≤1；故选：D．7.【解析】【分析】解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若𝑎𝑏，则2𝑎2𝑏−1”的否命题为“若𝑎≤𝑏，则2𝑎≤2𝑏−1”，故正确；③“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+1≥1”的否定是“∃𝑥∈𝑅，𝑥2+11”，故正确；④在∆𝐴𝐵𝐶中，“𝐴𝐵”⇔“𝑎𝑏”⇔“2𝑅sin𝐴2𝑅sin𝐵”⇔“sin𝐴sin𝐵”，故“𝐴𝐵”是“sin𝐴sin𝐵”的充要条件，故正确【答案】D8.解：设弦的两端点为𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，代入椭圆得{𝑥1216+𝑦129=1𝑥2216+𝑦229=1，两式相减得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)16+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)9=0，即(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)16=−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)9，9.【解析】解：椭圆5𝑥2+9𝑦2=45即为𝑥29+𝑦25=1，可得𝑎=3，𝑏=√5，𝑐=2，∵|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=6，那么|𝑃𝐹1|=6−|𝑃𝐹2|，所以|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐴|=6−|𝑃𝐹2|+|𝑃𝐴|=6+(|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|)根据三角形三边关系可知，当点P位于𝑃2时，|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|的差最大，此时𝐹2与A点连线交椭圆于𝑃2，易得|𝐴𝐹2|=√2，此时，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐴|也得到最大值，其值为6+√2．故选：B．求得椭圆的标准方程，可得𝑎=3，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=6，|𝑃𝐹1|=6−|𝑃𝐹2|，所以|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐴|=6−|𝑃𝐹2|+|𝑃𝐴|=6+(|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|)，由此结合图象能求出|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐴|的最大值．10.【解析】解：由题意，𝐹(−1,0)，设点𝑃(𝑥0,𝑦0)，则有𝑥024+𝑦023=1，解得𝑦02=3(1−𝑥024)，第6页，共8页因为𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥0+1,𝑦0)，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥0,𝑦0)，所以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥0(𝑥0+1)+𝑦02=𝑥024+𝑥0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为𝑥0=−2，因为−2≤𝑥0≤2，所以当𝑥0=2时，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗取得最大值224+2+3=6，故选C．11.【解析】解：直线l：𝑥−2𝑦−5=0经过点(5,0)，可得𝑐=5，即𝑎2+𝑏2=25，①由题意可得直线l平行于渐近线𝑦=𝑏𝑎𝑥，可得12=𝑏𝑎，②由①②解得𝑎=2√5，𝑏=√5，则双曲线的方程为𝑥220−𝑦25=1．故选：A．12.【解析】解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐴𝐷=3，𝑃𝐴=2，则𝑃(0,0，2)，𝐵(2,0，0)，𝐶(2,2，0)，𝐷(0,3，0)，从而𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，−2)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2，−2)，𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,3，−2)，设平面PCD的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑎,b，𝑐)，{𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0即{3𝑏−2𝑐=02𝑎+2𝑏−2𝑐=0，不妨取𝑐=3，则𝑏=2，𝑎=1，所以平面PCD的一个法向量为𝑛⃗⃗=(1,2，3)，所以PB与平面PCD所成角的正弦值sin𝜃=|cos𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗|=|2−6√22+(−2)2⋅√12+22+32|=|−√77|=√77，故选：B．13.【答案】𝑦=−3【解答】解：∵𝑥2=12𝑦，∴𝑝=6且表示焦点在y正半轴上的抛物线，∴准线方程为𝑦=−𝑝2=−3，故答案为𝑦=−3．14.【答案】1𝑘4且𝑘≠52解：由曲线𝑥24−𝑘+𝑦2𝑘−1=1表示椭圆，可得{4−𝑘0𝑘−104−𝑘≠𝑘−1，即{𝑘4𝑘1𝑘≠52，解得1𝑘4，且𝑘≠52．故答案为1𝑘4且𝑘≠5215.【答案】充分不必要解：𝑎=3时，2𝑥+3𝑦+1=0和2𝑥+3𝑦−2=0平行，是充分条件，若直线2𝑥+𝑎𝑦+1=0和直线(𝑎−1)𝑥+3𝑦−2=0平行，则2𝑎−12𝑎−1=𝑎3，解得：𝑎=3或