2014届高三数学(理)《平面向量基本定理及坐标表示》

4．2平面向量基本定理及坐标表示考纲点击1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点梳理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个①______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝②__________.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组③______.2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴④______的两个单位⑤______i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝⑥__________，则有序数对(x、y)叫做向量a的坐标，记作⑦__________，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其⑧______相同，⑨______相同的向量是相等向量．3．平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝○10__________________，|AB→|＝⑪______________________.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝⑫__________________，a－b＝⑬______________，λa＝⑭__________，a∥b(b≠0)的充要条件是⑮__________________.(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为⑯____________或⑰__________________.(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔⑱________________.答案：①不共线②λ1e1＋λ2e2③基底④平行⑤向量⑥xi＋yj⑦a＝(x，y)⑧坐标⑨坐标⑩(x2－x1，y2－y1)⑪x2－x12＋y2－y12⑫(x1＋x2，y1＋y2)⑬(x1－x2，y1－y2)⑭(λx1，λy1)⑮x1y2－x2y1＝0⑯±a|a|⑰±1x2＋y2(x，y)⑱x1＝x2且y1＝y2考点自测1.已知向量OA→＝(1，－2)，OB→＝(－3,4)，则12AB→等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)解析：依题意得AB→＝OB→－OA→＝(－4,6)，12AB→＝12(－4,6)＝(－2,3)，选A.答案：A2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，∵a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，由此解得x＝2，选D.答案：D3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.答案：B4．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)解析：如图，QC→＝AQ→＝PQ→－PA→＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC→＝PQ→＋QC→＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC→＝3PC→＝(－6,21)．答案：A5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__________.解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.答案：－1疑点清源1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.题型探究题型一平面向量基本定理例1如图所示，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→.解析：设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b.因为A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.而CM→＝OM→－OC→＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b，因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37.所以OM→＝17a＋37b.点评：本题先用平面向量基本定理设出OM→＝ma＋nb，然后利用共线向量的条件列出方程组，确定m，n的值．变式探究1如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.解析：设AB→＝a，AD→＝b.因为M，N分别为CD，BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a.因而c＝b＋12ad＝a＋12b⇒a＝232d－c，b＝232c－d，即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d).题型二平面向量的坐标运算例2已知a＝AB→，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解析：先求AB→的坐标，再求A的坐标．a与b、c有关，用b、c的坐标表示a.∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)．∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)即a＝(－7,10)＝AB→.又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)．AB→＝(1－x,0－y)＝(－7,10)∴1－x＝－70－y＝10⇒x＝8y＝－10即A点坐标为(8，－10)．点评：通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系．变式探究2(1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→.求M、N的坐标和MN→.解析：(1)用待定系数法：由3×1－(－2)×(－2)≠0，故a与b不共线．可设c＝λ1a＋λ2b(其中λ1、λ2为待定的常数)．即(7，－4)＝λ1(3，－2)＋λ2(－2,1)＝(3λ1－2λ2，－2λ1＋λ2)∴3λ1－2λ2＝7－2λ1＋λ2＝－4⇒λ1＝1λ2＝－2∴c＝a－2b.(2)∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．∴CM→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)．因此x＋3＝3，y＋4＝24，得x＝0，y＝20.∴M(0,20)．同理可得N(9,2)．∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18).题型三向量平行的坐标表示例3平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.解析：(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴3＋4k－5＝2＋k2.∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－1613.(2)d－c＝(x，y)－(4,1)＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，∵(d－c)∥(a＋b)，∴x－42＝y－14，即y－1＝2(x－4)．①又|d－c|＝1，∴x－42＋y－12＝1.②把①代入②，得5(x－4)2＝1，∴x＝4±15.∴x＝4＋55，y＝255＋1或x＝4－55，y＝－255＋1.∴d＝(4＋55，255＋1)或d＝(4－55，－255＋1)．点评：向量引入坐标后，用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．变式探究3已知a＝(2,3)，b＝(1,2)，若ka－b与a－kb平行，求实数k的值，并指出它们是同向还是反向？解析：∵a＝(2,3)，b＝(1,2)∴ka－b＝(2k－1,3k－2)．a－kb＝(2－k,3－2k)又ka－b与a－kb平行∴(2k－1)(3－2k)－(3k－2)(2－k)＝0，解得k＝±1.当k＝1时，ka－b＝a－kb，这两个向量方向相同；当k＝－1时，ka－b＝－(a－kb)，这两个向量方向相反.归纳总结•方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．•失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等.新题速递1．(2013·济宁调研)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若CO→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A．1B.2C.3D．2解析：由CO→＝xOA→＋yOB→得|CO→|2＝|xOA→＋yOB→|2＝x2＋y2＝1，又x＋y22≤x2＋y22＝12，∴x＋y≤2.答案：B2．(2013·吉林质检)O是△ABC所在平面内一点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC(λ∈(0，＋∞))，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．重心C．外心D．垂心解析：由正弦定理|AB→|sinB＝|AC→|sinC，∴OP→＝OA→＋λ|AB→|sinB(AB→＋AC→)，即AP→＝λ|AB→|sinB(AB→＋AC→)，根据平行四边形法则AB→＋AC→过△ABC的重心．答案：B3．(2013·济南调研)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且DC→＝3DE→，BC→＝3BF→，若AC→＝mAE→＋nAF→，其中m，n∈R，则m＋n＝__________.解析：AC→＝mAE→＋nAF→，AC→＝AB→＋AD→＝AF→＋FB→＋AE→＋ED→，又FB→＋ED→＝13CB→＋13CD→＝－13AC→，∴AC→＝AE→＋AF→－13AC→，因此AC→＝34AE→＋34AF→，m＋n＝32.答案：32