7.4 正态总体的区间估计(一)―概率论与数理统计_王松桂、程维虎等_科学出版社

第七章第四节正态总体的区间估计（一）引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间，使们求出一个尽可能置信水平为的置信区间，其中为两个统计量.称区间为的寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.使得称为与之间的误差限.我们选取未知参数的某个估计量，根据置信水平，可以找到一个正数，只要知道的概率分布，确定误差限并不难.下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.由不等式可以解出：这个不等式就是我们所求的置信区间.前面已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要复习一下.在求置信区间时，要查表求分位数.设01,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.例如:标准正态分布的上分位数例如:分布的上分位数自由度为n的F分布的上分位数自由度为n1,n2的书末附有分布、t分布、F分布的上侧分位数表，供使用.需要注意的事项在教材上有说明.至于如何由标准正态分布函数表查表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决.现在回到置信区间题目上来.一、置信区间定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度、置信概率）为的置信区间.分别称为置信下限和置信上限.一旦有了样本，就把估计在区间内.这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.~N(0,1)选的点估计为求参数的置信度为的置信区间.（1）设X1,…Xn是取自的样本，二、置信区间的求法寻找未知参数的一个良好估计.解：寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使为什么这样取？对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得也可简记为于是所求的置信区间为从解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)3.寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且其分布为已知.4.对于给定的置信水平，根据S(T,)的分布，确定常数a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=5.对“a≤S(T,)≤b”作等价变形,得到如下形式:则就是的100()％的置信区间.这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.某工厂生产的零件长度X被认为服从N(,0.04),现从该产品中随机抽取6个,其长度的测量值如下(单位毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:该零件长度的置信系数为0.95的区间估计.n=6,=0.05,Z/2=Z0.025=1.962=0.22.解:例1(2)已知因方差未知，取对给定的置信度,确定分位数使即先求均值的区间估计:1、均值的置信水平为的区间估计.即为从中解得由于从中解得2求方差的置信水平为的区间估计.对给定的置信度,确定分位数使于是即为所求.为了估计一件物体的重量,将其称了1O次,得到的重量(单位：千克)为:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,1O.3,9.9设所称出的物体重量X服从N(,2).求:该物体重量的置信系数为0.95的置信区间解:例2n=10,=0.05,t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622求:2的置信系数为0.95的置信区间.解:例3(续例2)n=10,=0.05,S2=0.0583,查附表得:三、单侧置信区间上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限.又若统计量满足则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信上限.设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.例4从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取枢轴量解：的点估计取为样本均值对给定的置信水平，确定分位数使即于是得到的置信水平为的单侧置信区间为将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是1065小时的置信水平为的单侧置信下限为即同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的置信区间的具体方法.这一讲，我们介绍了区间估计.