方阵的行列式 可逆矩阵与逆矩阵

1第三节n阶方阵的行列式1、定义：设A=(aij)n×n为n阶方阵.由A中所有的元素按它们在A中的排列位置构成的n阶行列式称为方阵A的行列式,记作A或detA,即A111212122212nnnnnnaaaaaaaaa2方阵与行列式的区别方阵与行列式是两个不同的概念，n2个数按一定方式排成的n阶方阵是所确定的一个数．要清楚两者的含义数表.而n阶行列式是按行列式的定义注：及记号的区别.32、性质（1）TAA设A，B均为n阶方阵（2）nkAkA（3）||ABABBA推广：nnAA12,,nAAA若为同阶方阵,则1212nnAAAAAA(4)4例1设解111020011A求52AB110241020,150,111011AB110051142B,5,252AB532AB58AB58BA551085285注：ABAB例2设其中是数,,,21nnEkBEkA21,kk求及BABA解nnEkEkBA21nnnnEkEk21nnkk21nnEkEkBA21nEkk)(21nnEkk21nkk21一般地63、退化矩阵：设A为n阶方阵,若0,A则称A是非若0,A则称A是退化如：12,01A∵1210,01A∴A是非退化矩阵。退化的或非奇异的；的或奇异的。第四节可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵的性质8概念的引入：,111aaaa,AAEAEnnnE单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质.在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵的概念而对于任意数，若a,则存在使得0a1a9对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得ABBAE成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B称为A的定义：逆矩阵或逆阵。说明：(1)不是任意方阵都是可逆的。如零矩阵不是可逆矩阵。(2)若方阵A是方阵B的逆阵，则B也是A的逆阵。即A和B互为逆矩阵。一、逆矩阵的定义10这是因为:(3)如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.ACBBEBCECCBA所以A的逆矩阵是唯一的.将A的逆矩阵记作.1A11AAAA若B、C都是A的逆矩阵,则有则若A可逆,就有注A1并不是A的-1次方，不能写成A1,的形式。11当都不为零时,有321,,kkk321000000kkk321100010001kkk321100010001kkk321000000kkk3E单位阵：,nnnEEE)()(11EEEEnn即特殊矩阵的逆阵:对角阵：12从而1321000000kkk321100010001kkk一般地,若都不为零,则有nkkk,,,21nnkkkkkk11121121000013例12,34是否可逆？问题:（1）如何判别一个方阵是否可逆？（2）若A为可逆矩阵，如何求A1?10121032514二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法方阵可逆的必要条件：命题：设A可逆,则它有逆矩阵1,A使得1.AAE从而111,AAAAE0A若A可逆,则0A证：所以15伴随矩阵:nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵A的伴随矩阵.A设(),ijnnAa行列式的各所构成的如下矩阵ijA个元素的代数余子式注：中第i行第j列处的元素是而不是*AijAjiA问题：上述必要条件是不是充分的？即若0A,A一定可逆吗？若A可逆,如何求A-1？16例1.设101210,325A求A的伴随矩阵.解:1110525A12201035A1321732A2101225A2211235A2310232A3101110A3211220A3310121A175211022721112131*122232132333AAAAAAAAAA18例2:设A为n阶方阵,*A是A的伴随矩阵,计算**,.AAAAnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann1112121111AAaAaAannnnnnnn2211AAAAOO||AE11211222120nnaAaAaA19所以*,AAAE同理*,AAAE故有**,AAAAAE当0A时，我们有1*1.AAA.11**EAAAAAA从而A可逆,且20这样我们得到下述定理：说明：定理:n阶方阵A是可逆的充分必要条件是0,A即A是非退化的,而且1*1.AAA该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。21例3：设101210,325A判断A是否可逆？若可逆，求出1.A解：因为101210325A20所以A可逆，且1*1.AAA22因为*5211022,721A所以1*1AAA52111022272151122511.7112223下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：命题：设A、B为n阶方阵，若,ABE则A、B都可逆，且1,BA1.AB因为,ABE所以10,EABAB0,A0,B因此有故A、B都可逆,则有1111()()BEBAABAABAEA证：1111()()AAEABBABBEBB24说明：该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵例4:设方阵A、B满足,ABABA-E可逆，并求其逆。试证解：ABABABABEE()()AEBAEE())(BEEAE1()()AEBE25例5:设方阵A满足232,AAEOA和A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。试证解：232AAEO232AAE(3)2AAEE12(3)AAEE112(3)AAE232AAEO23108AAEEO(2)(5)8AEAEE1(2)[(5]8AEAEE1(2)(5)AEAE181A12EA26若A可逆，则1A也可逆，且11().AA性质1：性质2：若A可逆，则也可逆，且TA11()()TTAA因为11()()()TTTAAAA,TEE所以11()().TTAA证：三.性质27若A可逆，数0,k则kA可逆,且111().kAAk111()ABBA若A、B都可逆，则AB也可逆，且因为1111()()ABBAABBA1AEA1AAE所以111().ABBA证：性质3：性质4：28若n阶方阵(1,2,,)iAin可逆，则11111211().nnnAAAAAA若A可逆，则1A因为A可逆，所以1AAE111,AAAAE11,AA111.AAA推广：证：性质5：1.A29例6：设A为n阶方阵，且5,A求1(5).TA解：5,TAA1(5)TA15TA1(5)nTA1(55)n15n3016,ABAABA.B求ABABAA611()6AEBAA1()6AEEB116().BAE解例7设三阶矩阵A、B满足关系121400017A00且031610003100016.100020006116EAB110001000170004000261600030001632设线性方程组为nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若系数矩阵A可逆，求.X例8解：线性方程组的矩阵形式为AXb因为A可逆，所以1A存在且有11AAXAb1EXAb1.XAb33作业P8224，27注：28题之前的习题都可以做！