2019高职高考数学复习-诱导公式

6.5诱导公式【复习目标】熟练掌握诱导公式,能利用诱导公式进行求值、化简.【知识回顾】引言:如果0°α360°,角α和k·360°+α的始边和终边分别重合,根据任意角三角函数定义,可知,终边相同的角的同名三角函数值相等.因此遇到求绝对值大于360°的角的三角函数值的时候,可以从这个角的度数(或弧度数)里加上或减去360°(或2π)的整数倍.所得的角α的三角函数就是所求的三角函数.例如:sin(2000°)=sin(5×360°+200°)=sin200°cos(-𝟑𝟏𝟑π)=cos(𝟓𝟑π-2π×6)=cos𝟓𝟑π由三角函数的定义,可得到下列九组公式,为了方便记忆和运用,可将其概括为如下两条法则:(1)2kπ+α、2π-α、π±α、-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原角原名三角函数值的符号,简言之:“函数名称不变,符号看象限”.例如:sin(2kπ+α)=sinαcos(2π-α)=cosαtan(π-α)=-tanα(2)𝝅𝟐±α、𝟑𝟐π±α的三角函数值等于α的相应余函数的值,前面加上一个把α看成锐角时原角原名三角函数值的符号,简言之:“函数名称变,符号看象限”.例如:sin(𝝅𝟐-α)=cosαcos(𝝅𝟐+α)=-sinαtan(𝟑𝟐π+α)=-cotα【例题精解】【分析】求值的关键是将角进行合理的转换,然后应用诱导公式求值.【解】(1)cos600°=cos(120°-720°)=cos(120°)=-𝟏𝟐(2)tan405°=tan(45°+360°)=tan45°=1(3)cos(-420°)=cos(-60°-360°)=cos(-60°)=𝟏𝟐(4)sin(-𝟖𝟑π)=sin(𝝅𝟑-3π)=-sin𝝅𝟑=-𝟑𝟐【例1】求(1)cos600°;(2)tan405°;(3)cos(-420°);(4)sin(-𝟖𝟑π)【解】原式=−𝒔𝒊𝒏𝜶(−𝒄𝒐𝒔𝜶)−𝒄𝒐𝒔𝜶(−𝒕𝒂𝒏𝜶)=cosα【例2】化简:𝒔𝒊𝒏(𝟐𝝅−𝜶)𝒄𝒐𝒔(𝜶+𝝅)𝒄𝒐𝒔(𝝅−𝜶)𝒕𝒂𝒏(𝟑𝝅−𝜶)【分析】1°+89°=2°+88°=3°+87°=…=44°+46°=90°故sin289°=cos21°,sin288°=cos22°【解】原式=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244°+…+cos21°=(cos21°+sin21°)+(cos22°+sin22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=1+1+…+1+(𝟐𝟐)2=44+𝟏𝟐=𝟖𝟗𝟐【例3】化简:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.【解】∵sin(π-α)-cos(π+α)=𝟐𝟑(𝝅𝟐απ)∴sinα+cosα=𝟐𝟑两边平方得:1+2sinαcosα=𝟐𝟗∴sinαcosα=-𝟕𝟏𝟖∵𝝅𝟐απ∴sinα0,cosα0∴sinα-cosα=(𝒔𝒊𝒏𝜶+𝒄𝒐𝒔𝜶)𝟐−𝟒𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶=(𝟐𝟑)𝟐−𝟒×(−𝟕𝟏𝟖)=𝟒𝟑【点评】对已知条件中的式子与所求式子先利用诱导公式化简,求得sinαcosα,进而求得sinα-cosα的值.【例4】已知sin(π-α)-cos(π+α)=𝟐𝟑(𝝅𝟐απ),求sinα-cosα的值.【同步训练】【答案】B一、选择题1.sin(𝟑𝟐π+θ)=()A.cosθB.-cosθC.sinθD.-sinθ【答案】C2.sin240°的值是()A.-𝟏𝟐B.𝟏𝟐C.-𝟑𝟐D.𝟑𝟐【答案】D3.cos𝟖𝟑π=()A.𝟑𝟐B.-𝟑𝟐C.-𝟐𝟐D.-𝟏𝟐【答案】D4.下列三角函数关系式正确的是()A.sin(180°+α)=sin180°+αB.sin(180°+α)=sin180°+sinαC.sin(180°+α)=sinαD.sin(180°+α)=-sinα【答案】D5.将sin246°化为锐角三角函数,应是()A.cos66°B.sin66°C.-cos66°D.-sin66°【答案】B6.若cosα=-𝟏𝟐𝟏𝟑,则cos(π+α)的值为()A.-𝟏𝟐𝟏𝟑B.𝟏𝟐𝟏𝟑C.-𝟓𝟏𝟑D.𝟓𝟏𝟑【答案】B7.若tan(π-α)=2,且sinα0,则cosα=()A.-𝟐𝟓𝟓B.-𝟓𝟓C.𝟐𝟓𝟓D.𝟓𝟓【答案】D8.若tan(π-α)0,cosα0,则角α在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B9.𝟏−𝒔𝒊𝒏𝟐𝟏𝟎𝟎°等于()A.-sin10°B.sin10°C.-cos10°D.cos10°【答案】A10.若A、B、C是△ABC的三个内角,则()A.sinA=sin(B+C)B.cosA=cos(B+C)C.tanA=tan(B+C)D.cotA=cot(B+C)二、填空题11.tan(-20°)·tan70°=.12.sin𝟓𝟑π+tan𝟑𝟒π·cos𝟖𝟑π=.13.若sin(𝟓𝟐π-α)=𝟑𝟓,则cos(π-α)=.14.cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°=.15.tan1°·tan2°·tan3°…tan89°=.𝟏−𝟑𝟐-11-𝟑𝟓44𝟏𝟐【解】原式=𝒔𝒊𝒏𝜶·(−𝒄𝒐𝒔𝜶)·(−𝒕𝒂𝒏𝜶)𝒄𝒐𝒔𝜶·(−𝒄𝒐𝒔𝜶)·(−𝒕𝒂𝒏𝜶)=tanα三、解答题16.化简:𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟖𝟎°−𝜶)·𝒔𝒊𝒏(𝟐𝟕𝟎°−𝜶)·𝒕𝒂𝒏(𝟏𝟖𝟎°−𝜶)𝒔𝒊𝒏(𝟗𝟎°+𝜶)·𝒔𝒊𝒏(𝟐𝟕𝟎°+𝜶)·𝒕𝒂𝒏(𝟑𝟔𝟎°−𝜶)【解】由已知,得-tanα=2∴tanα=-2(1)𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶+𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶𝟕𝒔𝒊𝒏𝜶+𝒄𝒐𝒔𝜶=𝟐𝒕𝒂𝒏𝜶+𝟐𝟕𝒕𝒂𝒏𝜶+𝟏=𝟐×(−𝟐)+𝟐𝟕×(−𝟐)+𝟏=−𝟒+𝟐−𝟏𝟒+𝟏=𝟐𝟏𝟑(2)sinα·cosα=𝒔𝒊𝒏𝜶·𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝒕𝒂𝒏𝜶𝒕𝒂𝒏𝟐𝜶+𝟏=−𝟐(−𝟐)𝟐+𝟏=-𝟐𝟓(3)4cos2α+3sin2α=𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶+𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟒+𝟑𝒕𝒂𝒏𝟐𝜶𝒕𝒂𝒏𝟐𝜶+𝟏=𝟒+𝟑×(−𝟐)𝟐(−𝟐)𝟐+𝟏=𝟏𝟔𝟓17.已知tan(π-α)=2,求值:(1)𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶+𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶𝟕𝒔𝒊𝒏𝜶+𝒄𝒐𝒔𝜶;(2)sinα·cosα;(3)4cos2α+3sin2α.18.已知sin(2π-α)=-𝟒𝟓,求下列三角函数值:(1)cos(5π-α);(2)tan(π+α).【解】由已知,得-sinα=-𝟒𝟓∴sinα=𝟒𝟓0∴α是第一或第二象限的角(1)cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα=±𝟏−(𝟒𝟓)𝟐=±𝟑𝟓(2)tan(π+α)=tanα=𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶=±𝟒𝟑