【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式课件 理

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式数学川（理）第四章三角函数、解三角形1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．基础知识·自主学习1.同角三角函数关系式难点正本疑点清源要点梳理sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα2.下列各角的终边与角α的终边的关系(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．基础知识·自主学习1.同角三角函数关系式难点正本疑点清源要点梳理角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．基础知识·自主学习1.同角三角函数关系式难点正本疑点清源要点梳理角π－απ2－απ2＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3.六组诱导公式诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．2.诱导公式sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测－255－5534－334－23【例1】已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．题型分类·深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用思维启迪解析探究提高【例1】已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．题型分类·深度剖析题型一由sinA＋cosA＝15及sin2A＋cos2A＝1，可求sinA，cosA的值．思维启迪解析探究提高同角三角函数基本关系式的应用【例1】已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．题型分类·深度剖析题型一解(1)∵sinA＋cosA＝15①∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，∴sinAcosA＝－1225.思维启迪解析探究提高同角三角函数基本关系式的应用(2)由sinAcosA＝－12250，且0Aπ，可知cosA0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2425＝4925，又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，∴sinA－cosA＝75.②∴由①，②可得sinA＝45，cosA＝－35，∴tanA＝sinAcosA＝45－35＝－43.题型分类·深度剖析题型一(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．思维启迪解析探究提高同角三角函数基本关系式的应用【例1】已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．变式训练1(1)已知tanα＝2，求sin2α＋sinαcosα－2cos2α；(2)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解(1)sin2α＋sinαcosα－2cos2α题型分类·深度剖析＝sin2α＋sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α＋tanα－2tan2α＋1＝45.(2)∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝38，即cosα＝±64.【例2】(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值．题型分类·深度剖析题型二三角函数的诱导公式的应用思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型二(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．思维启迪解析探究提高三角函数的诱导公式的应用【例2】(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值．【例2】(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值．题型分类·深度剖析题型二解(1)∵π6＋α＋5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－π6＋α.思维启迪解析探究提高三角函数的诱导公式的应用∴cos5π6－α＝cosπ－π6＋α＝－cosπ6＋α＝－33，即cos5π6－α＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，【例2】(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值．题型分类·深度剖析题型二∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tanα－72π思维启迪解析探究提高三角函数的诱导公式的应用＝sin(π＋α)·－tan72π－α＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.题型分类·深度剖析题型二熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．思维启迪解析探究提高三角函数的诱导公式的应用【例2】(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值．变式训练2(1)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α；(2)已知f(x)＝sinπ－xcos2π－xtan－x＋πcos－π2＋x，求f－31π3的值．题型分类·深度剖析解(1)原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.变式训练2(1)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α；(2)已知f(x)＝sinπ－xcos2π－xtan－x＋πcos－π2＋x，求f－31π3的值．题型分类·深度剖析(2)∵f(x)＝sinx·cosx·－tanxsinx＝－cosx·tanx＝－sinx，∴f－31π3＝－sin－31π3＝sin31π3＝sin10π＋π3＝sinπ3＝32.【例3】(1)已知tanα＝13，求12sinαcosα＋cos2α的值；(2)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α.题型分类·深度剖析题型三三角函数式的化简与求值思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型三三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．思维启迪解析探究提高三角函数式的化简与求值【例3】(1)已知tanα＝13，求12sinαcosα＋cos2α的值；(2)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α.【例3】(1)已知tanα＝13，求12sinαcosα＋cos2α的值；(2)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α.题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解(1)因为tanα＝13，所以12sinαcosα＋cos2α＝sin2α＋cos2α2sinαcosα＋cos2α三角函数式的化简与求值＝tan2α＋12tanα＋1＝23.(2)原式＝－tanα·cos－α·sin－α－π2cosπ－α·sinπ－α＝tanα·cosα·sinα＋π2－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.题型分类·深度剖析题型三在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．思维启迪解析探究提高三角函数式的化简与求值【例3】(1)已知tanα＝13，求12sinαcosα＋cos2α的值；(2)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α.变式训练3已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，求cos2π4＋α2－cos2π4－α2sinπ－α＋cos3π＋α的值．题型分类·深度剖析解∵sinα＋π2＝－55，∴cosα＝－55，又α∈(0，π)，∴sinα＝255.cos2π4＋α2－cos2π4－α2sinπ－α＋cos3π＋α＝cos2π4＋α2－sin2π4＋α2sinα－cosα＝cosπ2＋αsinα－cosα＝－sinαsinα－cosα＝－23.典例：(12分)化简：sin4n－14π－α＋cos4n＋14π－α(n∈Z)．审题视角规范解答温馨提醒思想与方法7.分类讨论思想在三角函数化简中的应用题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．题型分类·深度剖析思想与方法审题视角典例：(12分)化简：sin4n－14π－α＋cos4n＋14π－α(n∈Z)．7.分类讨论