数学正弦定理和余弦定理

第1页第三章第7讲第7讲正弦定理和余弦定理第2页第三章第7讲不同寻常的一本书，不可不读哟！掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.第3页第三章第7讲1个必记关键解三角形时，充分结合图形，根据条件，恰当选用正弦定理或余弦定理是关键．2条重要途径1.通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．2.利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过因式分解、配方等变换，求出三条边之间的关系进行判断．第4页第三章第7讲3种必会方法1.已知两角和一边(如A、B、c)，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.2.已知两边和夹角(如a、b、C)，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角(如a、b、A)，应用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.第5页第三章第7讲课前自主导学第6页第三章第7讲1.正弦定理分类内容定理asinA＝________＝________＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝________，b＝________，c＝________，②sinA∶sinB∶sinC＝________，③sinA＝a2R，sinB＝________，sinC＝________解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.第7页第三章第7讲(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．(2)[2012·北京高考]在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．第8页第三章第7讲在△ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？第9页第三章第7讲2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝__________；b2＝________；c2＝________；变形公式cosA＝________；cosB＝________；cosC＝________.解决的问题①已知三边，求各角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.第10页第三章第7讲(1)[2012·陕西高考]在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.(2)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是________．第11页第三章第7讲3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝________＝________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．第12页第三章第7讲(1)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．(2)[2011·安徽高考]已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成等差数列，其公差为4，则△ABC的面积为________.第13页第三章第7讲1.bsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶cb2Rc2R填一填：π6提示：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，∴sinA＝12，A＝π6.第14页第三章第7讲(2)π2提示：asinA＝bsinB⇒sinB＝12⇒B＝π6，∴∠C的大小为π2.想一想：提示：充要条件，因为sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.2．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab第15页第三章第7讲填一填：(1)2提示：b2＝a2＋c2－2accosB＝4，b＝2.(2)120°提示：a∶b∶c＝1∶1∶3，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，C＝120°.3.12acsinB12absinC填一填：(1)43提示：cosC＝13，∴sinC＝223，S△＝12absinC＝43.第16页第三章第7讲(2)153提示：法1：设三条边中间边长为x，则另两边长为x－4，x＋4，则(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos120°，解得x＝10，∴S△ABC＝12×10×6×sin120°＝153.法2：求得x＝10，同法1，套用p＝12(a＋b＋c)＝32x＝15，∴S△ABC＝pp－ap－bp－c＝1515－615－1015－14＝153.第17页第三章第7讲核心要点研究第18页第三章第7讲例1[2012·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．第19页第三章第7讲[审题视点](1)应用正弦定理转化为角求解．(2)应用余弦定理转化为边求解．[解](1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.第20页第三章第7讲奇思妙想：本例第(2)问改为“若b＝3，试求△ABC面积的最大值．”已知条件不变，该如何解答？解：由b＝3，B＝π3及余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosπ3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，∴ac≤9，当a＝c＝3时，取“＝”，∴S△ABC＝12acsinB＝34ac≤34×9＝934，∴S△ABC的最大值为943，当a＝b＝c＝3时取得．第21页第三章第7讲1.充分结合图形，根据条件，恰当选择用正弦定理或余弦定理是关键．2.已知两边与其中一边的对角解三角形时，注意解的情况，如已知a，b，A，比较a与bsinA大小．结合大边对大角可判断解的个数．第22页第三章第7讲[变式探究]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝3.(1)若角C＝π3，则角A＝________；(2)若角A＝π6，则b＝________.答案：(1)π6(2)2或1第23页第三章第7讲解析：(1)由正弦定理asinA＝csinC，得sinA＝asinCc＝12，又ac，∴AC，∴A＝π6.(2)由asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝32，得C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝π2，可得b＝2；当C＝2π3时，B＝π6，此时得b＝1.第24页第三章第7讲例2[2013·温州模拟]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠B＝60°，2b＝a＋c，判断△ABC的形状．[审题视点]判断三角形的形状，可从角或边的两个角度思考，于是可通过正弦定理将边转化为角，或通过余弦定理转化为边，这样可有两种基本解法．第25页第三章第7讲[解]法一：2b＝a＋c,2sinB＝sinA＋sinC，∠B＝60°，∠A＋∠C＝120°，代入，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，展开整理得，32sinC＋12cosC＝1，sin(C＋30°)＝1，∠C＝60°，所以∠A＝60°，故△ABC为正三角形．第26页第三章第7讲法二：由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，∠B＝60°，b＝a＋c2，(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，(a－c)2＝0，a＝c＝b，故△ABC为正三角形．第27页第三章第7讲在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．第28页第三章第7讲[变式探究](1)[2012·上海高考]在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定第29页第三章第7讲答案：(1)A(2)B(2)[2013·天津模拟]在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形第30页第三章第7讲解析：(1)由sin2A＋sin2Bsin2C，得a2＋b2c2所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形，选A.第31页第三章第7讲(2)∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.∴△ABC为直角三角形.第32页第三章第7讲例3[2012·山东高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.[审题视点](1)根据正弦定理即证明sin2B＝sinAsinC，切化弦变换已知条件即可．(2)根据(1)可得b＝2，三角形三边已知，由余弦定理求角的余弦，再求正弦，最后利用面积公式．第33页第三章第7讲[解](1)在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB(sinAcosA＋sinCcosC)＝sinAcosA·sinCcosC，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.第34页第三章第7讲由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12＋22－22×1×2＝34，因为0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝74，故△ABC的面积S＝12acsinB＝12×1×2×74＝74.第35页第三章第7讲(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与三角形有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化．第36页第三章第7讲[变式探究][2012·江西高考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.第37页第三章第7讲解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－13，从而cosA＝－cos(B＋C)＝13.第38页第三章第7讲(2)由于0Aπ，cosA＝13，所以sinA＝223.又S△ABC＝22，即12bcsinA＝22，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13.解方程组bc＝6，b2＋c2＝13，得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.∴b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.第39页第三章第7讲课课精彩无限第40页第三章第7讲【选题·热考秀】[2012·课标全国高考]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.第41页第三章第7讲[规范解答](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0和正弦定理，得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0，因为B＝π－A－C，所以sinAcosC＋3sinAsinC－sin(π－A－C)－sinC＝0，也即sinAcosC＋3sinAsinC－sin(A＋C)－sinC＝3sinAsinC