定轴转动刚体的转动定律度

1定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量2一、作用于定轴刚体的合外力矩1.力对固定点的矩FrM这种情况相当于质点绕固定点O转动的情形。2.力对固定轴的矩（1）力垂直于转轴OPdrrFM（2）力与转轴不垂直F⊥θF∥转轴orFz转动平面可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零。FrM大小：sinrFM3a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0；b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交点O的矩等值。但不能说完全相同。d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上，它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。3.力矩的计算在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算方法进行计算，最后求和。说明：4例1：一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻。解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，mlodmdxxx细杆的质量密度lm质元质量dxdm质元受阻力矩：dmgxdM阻细杆受的阻力矩阻阻dMM221gllmmgl21lgxdx05二、定轴转动刚体的角动量1.质点对点的角动量vmrPrL作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;2.定轴转动刚体的角动量irPov以角速度ω作定轴转动的刚体内取一质点mi，则其对OZ轴的角动量为：ωrΔmvΔmrL2iiiiii由于刚体作定轴转动时，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所有质点的角动量求和。)ωrΔm()vΔmr(LL2iiiiii6)ωrΔm()vΔmr(LL2iiiiii令：)rΔm(I2ii刚体绕OZ轴转动的转动惯量IωL刚体绕OZ轴转动的角动量注意：a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相对于哪个轴或哪个点。强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来描述，而不能用动量来描述。7刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。)rΔm(I2iiI是描述刚体转动惯性大小的物理量。刚体的转动惯量与哪些物理量有关？①.与刚体质量有关。②.与质量对轴的分布有关。③.与轴的位置有关。1.定义在（SI）中，I的单位：kgm2量纲：ML2三、定轴转动刚体的转动惯量82.转动惯量的计算i2iiI)rΔm(I分立质点系质量连续分布的刚体dmrI2dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。质量均匀分布且形状以规则对称的，可利用上面的公式计算转动惯量，对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。9例2：半径为R质量为M的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量I。RMo解：dmdmRIM20分割质量元dm圆环上各质量元到轴的距离相等，dmRM022MR绕圆环质心轴的转动惯量为2MRI例2：在无质轻杆的b处3b处各系质量为2m和m的质点，可绕o轴转动，求：质点系的转动惯量I。解：由转动惯量的定义221iiirmI22)3(2bmmb211mb10例3：如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求对几何轴oz的转动惯量。1R2Rrdrozll)rdr(dVdm,drrl,,)RrR(r221则该质元的质量为厚度为半径为其长为柱壳形状的质元取一薄圆处在半径为解：lRRm)(2122圆筒的体密度)(212122RRmI221221,21,,0mRIRRRmRIRRR若若)RR(l4142221322RRmdrrldmrI11例4求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。xoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LClAdmxI02231mLLdxx02解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：lm331L（2）对于通过棒的中心的轴2/2/2LLcdmxI2121mL3121L2/2/2LLdxx2)2(LmIICA123.平行轴定理上例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量，IA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。2222CAmL31mL41mL1212L＋m＝II推广上述结论，可得平行轴定理。定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量I，等于绕质心轴的转动惯量IC加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。ImCIdC2mdIIC刚体绕质心轴的转动惯量最小。2)2(LmIICA13例5：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）2L1LLm31I2ooRm21I200L2dmII2o2o2LR)(LmRm21Lm31I例：再以绕长为l、质量为m的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量I。解：绕细杆质心的转动惯量为：2121mlIC绕杆的一端转动惯量为222121lmmlI231ml14四、定轴转动的转动定律imiFiFirFififoz),(取刚体内任一质元i，它所受合外力为，内力为。iFif只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。iiiiamfFiiiiamfF:切向对mi用牛顿第二定律：iniininamfF:法向法向力作用线通过转轴，力矩为零。两边乘以ri,有：iiiiiiiramrfrF2iiiiiiiiirmramrfrF对所有质元的同样的式子求和，有：152iiiiiiiiirmramrfrF合外力矩内力矩之和I用M表示∑Fitri（合外力矩），有：刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。IM注意几点:1.是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。2.M、I、是对同一轴而言的。刚体定轴转动定律！4.转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。3.具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。16例6一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。mg解：RβamaTmg:对m2MR21I＝＝TR＝IβM对M：g2Mmm解方程得：aM2m4mghR1RvωM2m4mgh2ahv17例7两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’=2r，质量m’=2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r=10cm。求：（1）组合轮的角加速度；（2）当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。ra2srad310192.)r(g:解得rh:,)2(则为组合轮转过的角度设121208.9)2(2sradrh解：aTTTTamgmgrm,rm,ABo29)2(2mrTrrT)2(raamTmgmamgT18例8如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为l，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时的角加速度；（2）角为300，900时的角速度。矩棒在任意位置时的重力解)1(:cos23312lgmlIMdtdmlmg231cos21)2(003cos2dldg分离变量积分lg)sin3(lglg3,9023,3000doccmgNcos2lmgMddmldtdddml22313119o定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。yxzIII定理证明：zyxdmxydmyIx2对于质量平面分布的刚体，绕x轴的转动惯量为：4.垂直轴定理绕y轴的转动惯量为：dmxIy2绕z轴的转动惯量为：20dmzIz2dmxdmy22yxII证毕dmyx)(22zyxodmxyz例：半径为R质量为M的圆盘，求绕直径轴转动的转动惯量Jy。解：圆盘绕垂直于盘面的质心z轴转动的转动惯量为：221MRIz动画xzyyxzIIIzyII21yI2241MR