量子信息

量子信息导论：基本内容：一、量子力学基础1、用波函数来完全描述体系的状态⑴波函数的意义⑵多种表示形式及对应关系①矩阵②矢量2、薛定谔方程及态叠加原理⑴薛定谔方程的形式⑵态叠加原理3、量子测量⑴厄秘算符与力学量⑵性质⑶投影测量二、量子态特性1、量子系统知识拓展⑴纯态与混合态、密度算子⑵Bolch球表示⑶多粒子空间与高维空间⑷POVM测量2、量子比特3、保真度与迹距离、vonNeumann熵4、不可区分性5、不可克隆三、量子操作1、封闭系统和开放体系2、单量子比特门3、2量子比特门4、多量子比特门5、单量子比特旋转分解6、通用量子门集四、形态各异的纠缠态及其应用1、Bell态及其分析回路2、GHZ态及其分析回路3、W态4、Graphstateandclusterstate5、Telecloningstate6、Noon态7、纠缠结构，纠缠度量，判定，纠缠混合态及纯化8、Werner态9、Simon态与束缚纠缠态10、应用：⑴隐形传态⑵远程态制备⑶密集编码⑷远程克隆⑸量子处理器⑹单向量子计算⑺QKDandQSS五、纠错与量子计算1、开放系统的演化2、单量子比特噪音的几何图像3、量子编码与纠错4、稳定子码5、容错量子计算信息是物理的————朗道量子信息科学诞生于上个世纪下半叶，由于各种因素的促发，如电子产品不断微型化，信息理论中热能耗问题，经典计算机模拟能力的拓展，对于量子理论的深入思考等，在上个世纪90年代时由于Shor提出利用量子逻辑有效提高大树因子分子的速度，对我们正在广泛使用的RSA公钥体系造成危胁，量子信息科学成为热点学科。主要有量子计算，量子通讯，量子信息理论等三个方向。一、量子力学基础实物粒子具有波粒二象性，PE,，PE,反映粒子性，,反映波动性。这个波是概率波，被考查物理量取值分布表现出相干性。1、用波函数来完全描述量子体系的状态（1）波函数的意义量子力学系统的状态由波函数）（)(x完全描写，)(x是复函数，本身不代表任何物理量，2）（x而具有几率密度的意义，2,）（tx表示t时刻在x周围捕捉到粒子的概率。被研究的物理量变化，自变量改变。波函数连续，有限，单值，归一。（2）多种表现形式及对应关系表示量子态可用多种形式，其中常用的有矩阵和矢量。①矢量量子力学系统态用Hilbert空间中的矢量描写，称此矢量为态矢量。波函数),(tx用Hilbert空间中的一个矢量表示，用Dirac符号表示为右矢),(tx，其相应的复共轭),(tx用其对偶空间中的一个左矢表示),(tx。态矢量归一性质表示为1,,),(,dxtxtxtxtx。②矩阵Hilbert空间由正交归一的完备基矢张成，同一个空间可以选不同的基矢。选定基矢后，体系的任何状态都可以表示为基矢的线性叠加。如一个二维量子系统，其Hilbert空间由正交归一完备基矢1,0张成，任何波函数都可以表示为10),(tx。确定基矢后，010，101，),(tx，),(tx归一化可表示为22),(,txtx。2、薛定谔方程及态叠加原理（1）薛定谔方程的形式及意义),(),(trHttri解得)0,(,rUtr）（其中)exp(0tHiU为时间演化算符，IUUU幺正。封闭系统随时间的演化幺正，即可逆。（2）态叠加原理由薛定谔方程的线性性质，如果1和2是量子系统可能的状态，则二者的线性叠加也是系统一种可能的状态。思考：1和2是否一定要正交？叠加后产生的状态是怎么的状态？（3）海森堡绘景UtAUiHAdtdAisHHH,其中UAUAsH互作用绘景)()()(ttVttiIII其中00UVUVsI)exp(0tHiUsVsHHH03、量子测量信息编码态制备信息处理态演化信息读取态测量量子测量①F线性厄米算符表物理量。平均值、本征值为实数。②nn，，，...,...,,2121本征函数系，形成正交、完备，任何量子态可展开。即：iiia③测量即塌缩，被测量子态为被测物理量的本征态为特殊情况。④任何力学量Q在中的平均值可表示为QQˆ⑤不对易算符不能同时取确定值⑥投影测量zx,可观测物理量x本征态10，z本征态1-0211021，在量子态1021下，测量z得：0时态坍缩到01时态坍缩到1测量x得：1021，状态不变。继续测量z的情况。投影算子iiiPiiPF力学量算符谱分解形式如：10011100z测量后状态：)(iiPP概率：iiPp)(IPPiii完备``iiiiPP正交归一称为投影测量，正交测量，vonNeumann测量，iP为测量算子如：000P111P0000PP1111PP参考书目：各初等量子力学书籍二、量子态特性1、量子系统知识拓展（1）纯态与混合态、密度算子（10ba）纯态：引入密度算子2**2**bbaabababa，其中2a、2b表示布居，*ab、*ba表示跃迁。当量子体系以21,PP的概率处于1和2，则系统处于混合态：2211PP，（1、2可不正交）思考：混合态的物理意义？与纯态的区别？特点：①正定0②)(FtrF③1)tr(④12）（tr判断混态与纯态的依据（纯：1)()(2trtr混：1)()(2trtr）思考：什么是求迹？物理意义？求迹的性质：①niiiAtr(A)②)()()(BtrAtrBAtr③ctr(A)tr(cA)④ctr(A)tr(cA)⑤)()()(AtrUAUtrAUUtr（2）二维量子系统量子态的Bloch球表示0110x00iiy1001z1001I这四个矩阵构成2×2矩阵的完备基矢，任何2×2都可以由它们的线性叠加表示。任意一个量子态的密度矩阵都可以表示为ziyxiyxzzyxIzyx21212x,y,z为实数。其中1222zyx，因此二维量子系统的量子态可以用单位球内一个从球心出发的矢量表示。即Bloch球。对于纯态：12sin02cos10ie纯态位于球面球内为混态，即：1222zyx球心点为最大混态：0zyx2I不包含任何信息可根据考虑问题的需要选择不同基矢量。10，思考：对于纯态，x,y,z与αβ及θφ的关系？（3）多个二维量子系统组成的复合系统二能级系统121H1,0二能级系统222H1,0例：①2211102110211110010021②1100211、2粒子相互关联纠缠，不能写成两粒子态直积形式。10211-021-1021iY1-021iY复合系统21H22H2121212111,01,10,002×3的复合系统，6个基矢量密度矩阵和约化密度矩阵A、B粒子组成的系统的状态处于AB则：整体的密度矩阵为ABAB，求偏迹（部分求迹）得到约化密度矩阵BABBBABBABBAtr1100AABAAABAABABtr1100局域的信息提取能力决定于约化密度矩阵，区分局域与整体。整体为纯态，通常局域为混合态，特例为整体为直积态时。整体为混合态，局域信息仍然决定于约化密度矩阵。（4）高维空间3维量子系统，2,1,0，纯态：210cba混合态或者纯态：)ˆ(31nI，0000010101，00000002ii，0000100011，0010001004，00000005ii，0101000006，00000007ii，200010001318，1n为纯态三维系统的自旋算符，01010101021xs，0000021iiiisy，10000000121zsB、Positiveoperatorvaluemeasure(POVM)与广义测量定义iiiPPE，iiEp)(，满足IEi0ip，为iE为POVM测量，或广义测量，iE为POVM算子例：01）（10212112121E10102122E213EEIE当``iiiiPP，退化为正交测量正交测量与POVM的关系大系统的投影测量通常等于对小系统实施POVM测量。2、量子比特比特是经典计算和经典信息中的基本单元，一个信息位可以明确地取值，0或者1，这样一个信息位称为一个比特，它的物理实现可以是电位的高低等。一个有限分立的量子系统也可以作为一个量子位，如果这个量子系统只有2个线性独立状态（2态系统10），则称为量子比特（qubit）。如电子自旋系统，光子偏振系统等。与经典系统不同的是：量子比特可以独立处于10，也可以处于二者叠加态，即并行性存在。即同时存储了10。推广到多个量子位时，会出现强大的一次量子运算完成多次经典运算的功能，即量子并行性。Qutrit即量子位为3态量子系统。量子比特是一个2态量子系统，量子比特携带的信息即2态量子系统的量子态。3、vonNeumann熵、保真度与迹距离vonNeumann熵，量化量子体系携带的信息量nxxxx......2,1niPPP....,...1iiPPxH2log)(（香农熵）被测系统附加演化被测系统((0附加测量信息经典n...,211P，2P....nP1iPvonNeumann熵PtrPS2logiiiiPP（，i不要求正交）由于密度矩阵厄米性可对角化fflogS（先将对角化求）若i正交，则iiPPS2log，等于香农熵例1：112100212I1S（不包含任何信息）最大纠缠态例2：1010210S例3：1041014111410043logS41414143求本征值（即对角化）21121121-12126009.0S信息量反映不确定度。vonNeumann熵性质①正定，非负0S0S时对应纯态②幺正演化不改变熵SUUS1③)(BA两个系统构成纯态0BAS0ABS量子而ABBAtrSSBASS（由于对称性）0ASABAAtr0BSABBAtr④DSlogD:不为0本征值个数⑤凸性n,...11P2P)(11niiiniiiSPPS可获取的信息量A、B、用最恰当LOCC（localoperation,classicalcommunication）得到YX定义Bob的可获取信息为：在他所有可能测量方案中能获得的互信息);(YXI的最大值：yxIMaxTAyFcc,