第2讲(欧拉法续、局部截断误差相容性等)

第一节欧拉方法（续）三种数值方法：),(1iiiiyxfhyy),(111iiiiyxfhyy)],(),([21111iiiiiiyxfyxfhyy欧拉方法:后退欧拉方法:梯形方法:2,1,0)],,(),([2,12,1,0),,()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyniyxfhyykiiiiikiiiii梯形方法迭代计算量大，且难以预测迭代次数。为了控制计算量，通常只迭代一次就转入下一点的计算。用显式公式作预测，梯形公式作校正，得到改进的欧拉方法（——迭代一次的梯形方法）改进的欧拉公式:2,1,0)],,(),([2,12,1,0),,(1111kyxfyxfhyyniyxfhyyiiiiiiiiii此公式也叫做预估校正公式，其中第一式叫预估公式，第二式叫校正公式。),(),(2121121211kyhxfhkyxfhkkkyyiiiiii此公式可写为嵌套形式)),(,(),(211iiiiiiiiyxhfyxfyxfhyy这个公式还可写为平均化形式：（——梯形方法迭代一次）例3.利用改进的欧拉方法求解常微分方程初值问题1)0(10,2ddyxyxyxy，取步长为0.1。解：改进的欧拉公式为数值结果见下表。2,1,0)],,(),([2,12,1,0),,(1111kyxfyxfhyyniyxfhyyiiiiiiiiii.2),(iiiiiyxyyxf此处ixiy)(ixy)(iixyy改进精确解误差欧拉方法0.01.000000001.000000000.000000001.000000000.11.095909091.095445120.000463981.100000000.21.184096571.183215960.000880611.191818180.31.266201361.264911060.001290301.277437830.41.343360151.341640790.001719361.358212600.51.416401931.414213560.002188371.435132920.61.485955601.483239700.002715901.508966250.71.552514091.549193340.003320751.580338240.81.616474781.612451550.004023231.649783430.91.678166361.673320050.004846311.717779351.01.737867401.732050810.005816591.78477083改进的欧拉方法数值效果显然优于欧拉方法,另外，与梯形方法相比，其计算量也小。例4.应用改进的欧拉方法解初值问题.0)1(,21,e2'2yttytyt取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较.解：再用梯形方法校正:),(1iiiiytfhyy)],(),([2111iiiiiiytfytfhyye2),(,2itiiiiitytytf其中先用用欧拉方法预估：本题要注意求解区间.计算结果列表:i01.00.0000000000.0000000000.00000000011.10.3423777890.3459198770.00354208821.20.8583145370.8666425360.00832799831.31.5927496431.6072150780.01446543541.42.5982982392.6203595510.02206131251.53.9364441143.9676662940.03122218061.65.6789071035.7209615260.04205442371.77.9092092167.9638734780.054664262itiy)(ity)(iityy算法的理论分析1.局部截断误差（相容性）所谓的局部截断误差实质上考察的是将微分方程离散化所带来的误差，或者也可以理解为差分格式对精确解的满足程度。DiscreteoperatorODEoperator),(1iiiiyxfhyy)],(),([2111iiiiiiyxfyxfhyy欧拉:改进欧拉:梯形:))],(,(),([211iiiiiiiiyxfhyxfyxfhyy),(111iiiiyxfhyy后退欧拉:单步法的一般形式——),,,(111iiiiiiyxyxhyy定义单步法局部截断误差(localtruncationerror)为))(,),(,()()(111iiiiiixyxxyxhxyxyLTEp越大表示离散方程与原微分方程近似程度越高。若一个数值方法的局部截断误差为,)(1phOLTE则称该数值方法是p阶的。它表示离散化后的方程是原微分方程的近似。DiscreteoperatorODEoperator对于欧拉方法，易见1()()(,())iiiiLTEyxyxhfxyx)()(6)(2232hOyhxyhi误差主项),(1iiiiyxfhyy)()()(1iiixyhxyxy这样，欧拉方法是一阶方法。对于隐式欧拉方法，),(111iiiiyxfhyy11111()()(,())()()()iiiiiiiLTEyxyxhfxyxyxyxhyx232()()()26()()()2iiiihhhyxyxyhhyxhyxy这样，隐式欧拉方法也是一阶方法。误差主项232()()()2ihyxOhOh再考察梯形方法，111(,)(,)2iiiiiihyyfxyfxy)]()([2)()(11iiiixyxyhxyxy显然，111()()(,())(,())2iiiiiihLTEyxyxfxyxfxyx)()()(12)](6)(2)()(2[2)(24)(6)(2)(3431)4(321)4(432hOhOxyhyhxyhxyhxyhyhxyhxyhxyhiiiiiii故梯形方法是二阶方法。误差主项对改进的欧拉方法，有))],(,(),([211iiiiiiiiyxfhyxfyxfhyy11()()[(,())(,()(,()))]2iiiiiiiiLTEyxyxhfxyxfxyxhfxyx))]()(,()([2)()())]()(,()([2)()(111iiiiiiiiiiiixyhxyhxfxyhxyxyxyhxyxfxyhxyxy12222222232()()[()(,())2(,())(,())(,())1()2(,())(,())1()()()]2iiiiiiiiiiiiiiiiiihyxyxyxfxyxfxyxfxyxfxyxhhyxhxyxfxyxfxyxhyxhyxOhxyy))]()(,()([2)()(1iiiiiixyhxyhxfxyhxyxyLTE23243()()()[()()262(,())(,())((,())())]2()()iiiiiiiiiiiihhhhyxyxyxyxyxfxyxhhfxyxfxyxyxyOhOh故改进的欧拉方法也是二阶的。误差主项这里我们假定前一步所得结果是准确的，这也是所谓的局部截断误差的名称由来，相当于只算一步的误差，从而是局部的。2.局部截断误差的意义p阶数值方法在区间上就有],[1iixx即该数值方法是局部收敛的。在条件下，可以证明当步长趋于零时，)(iixyy),(11iixyy下证之。))](,),(,()([),,,()(111111iiiiiiiiiiiixyxxyxhxyLTEyxyxhyxyyLTExyxyxyxyxhiiiiiiii))](,,,(),,,([1111LTExyyhLii)(11当数值方法为p阶时，),(1phOLTE故,0)(11iixyy简证：条件)(iixyy一般是不成立的，仅作局部研究用。0Lipschitzhy当且关于连续时,这是局部性质.3.收敛性(是算法有实际意义的理论基础）当等距步长时，若0h,,1,0],,[nibaxi)(iixyy都有，则称原算法是收敛的，且)(iiixyye称为整体截断误差。若),(maxpiihOe则称原算法是p(p≥1)阶收敛的或具有p阶精度。4.单步法局部截断误差与整体截断误差的关系③初值准确，即②关于y满足Lipschitz条件①p(p≥1)阶方法，即局部截断误差为),(1phO原p阶算法是p阶收敛的),(00xyy误差关系定理:（局部与整体误差关系）由于单步法是p阶方法，故有局部截断误差)())(,()()(11piiiihOxyxhxyxyLTE即11))(,()()(piiiihCxyxhxyxy设单步法是p阶方法，函数),(1iiiiyxhyy,条件满足关于LipschitzyyyLyxyx),(),(即存在常数,0L使得对任意，都有],[,bayy且初值是准确的，则原算法p阶收敛.0y证明：从而，11))(,()()(piiiihCxyxhxyxy)(11iixyy1))](,(),([)(piiiiiihCxyxyxhxyy11)()1()()(piipiiiihCxyyhLhCxyyhLxyy11)1(piihCehLe即得以下递推关系式对i逐步递推可得，),(1iiiiyxhyy1111])1)[(1(ppiihChCehLhLe)]1(1[)1(112hLhCehLpi))1()1()1(1()1(2101ipihLhLhLhCehLhLhLhCehLipi1)1()1(1101LhLhCehLnpi1)1()1(011e)1()(01abLpiLhCehL)]1(1[)1(1121hLhCehLepii11)1(piihCehLe递推关系：1e)1(01LhnpiLhCehL.1,0)(,e)1(xmxxmm整数因初值准确，1e)1()(011abLpiiLhCehLe.00e即1,,1,0),(1e)(1nihOLhCepabLpi),(maxpiihOe显然有所以原算法是p阶收敛的.这个定理说明当初值准确时，通过控制局部截断误差可以控制整体截断误差，因此设计数值方法时，要得到好的算法、高的收敛阶和精度，可以首先从局部截断误差的分析入手。p阶方法p阶收敛注：上述定理对于隐式方法也成立。11(,,,)(,).iiiiiixyxyxy因为总可以写成的形式收敛性若一个数值方法的局部截断误差为,)(1phOLTE),1(p则称该数值方法与原问题是相容的。所以对单步法而言，③初值准确②关于y满足Lipschitz条件①相容性②关于y满足Lipschitz条件,①p(p≥1)阶方法，即局部截断误