参数方程高三复习课

（高三复习课：两个课时）参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。)()(tgytfx普通方程相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。圆的参数方程P(x,y)xy____________yx思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程如图所示，P(x,y)是圆上一点,cosrsinr222ryxrO（θ为参数）θ表示从x轴正向起逆时针旋转的角r其中圆心为（0,0),为圆的半径，为旋转角以原点为圆心，以为半径的圆说明：参数θ的范围，确定了曲线的范围。以坐标原点为圆心，以2为半径的左半圆表示的曲线是(1)方程组)20(sin5cos5yx543表示的曲线是(3)方程组)232(sin2cos2yx表示的曲线是(2)方程组)230(sin2cos2yx以坐标原点为圆心，以2为半径的圆34sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO11111(,),(,)(,),,OabrOrOPxyOPxy圆心为、半径为的圆可以看作由圆心为原点、半径为的圆平移得到设圆上任意一点是圆上的点平移得到的由平移公式有又所以sincosrbyraxbyyaxx11vP1(x1,y1)oxyb,aO1(,)Pxy1222(,)()(),:Oabrxaybr圆心为、半径为的圆的标准方程为那么参数方程是sincosrbyraxabr其中圆心为（,),为圆的半径，为旋转角特点？练习：下列哪些曲线的轨迹是圆，若是，找出圆心和半径是是是否2sincos)4(sin22cos21)3(yxyxsin2cos)2(sin2cos2)1(yxyx例1(1)已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)例1(2)已知参数方程3cossinxy将它化为普通方程。，练习：已知圆O的参数方程是sin5cos5yx(0≤＜2)⑴如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是355532,,22QQ如果圆上点所对应的坐标是则点对应的参数等于235,2532例2已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。（2）x+y的最值，（3）x2+y2的最值，例3已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。(1)2)4sin(2421sin2cos3d显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。4122221解：将圆的方程化为：（x－3）2+（y－2）2=13cos2sinxy它的参数方程是(为参数）例3已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（2）x+y的最值，（3）x2+y2的最值，解：将圆的方程化为：（x－3）2+（y－2）2=13cos2sinxy它的参数方程是(为参数）(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）24∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。22例3已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（3）x2+y2的最值，解：将圆的方程化为：（x－3）2+（y－2）2=13cos2sinxy它的参数方程是(为参数）∴x2+y2的最大值为14+2，最小值为14-2。1313222222(3cos)(2sin)cos6cos9sin4sin46cos4sin14213sin()14xy椭圆的参数方程提出问题:以原点为圆心，分别以a、b(ab)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，当半径OA绕原点O旋转时，点M的轨迹是什么？•oxybaN解：设M（x,y),是以Ox为始边，则点A的坐标为：则点B的坐标为：(用a、b和角表示)OA为终边的正角，AB(cos,sin)aa(cos,sin)bbxycosasinbM(x,y)以原点为圆心，分别以a、b(ab)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，当半径OA绕原点O旋转时，点M的轨迹是什么？()cossinxayb为参数解：设M（x,y),是以Ox为始边，•oxyMABbaN它表示什么图形呢？演示cos,sin.xayb令22221xyab则这就是M的轨迹参数方程，它表示中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。xy•oMABN()cossinxayb为参数思考:()cossinxbya为参数椭圆焦点在y轴上的参数方程是什么?xy•oMAB22221yxab普通方程：例题分析:例1:把下列椭圆的参数方程化为普通方程并写出该椭圆的焦点坐标：5cos3sinxy8cos10sinxy（2）（1）22193xy22148xy（1）（2）例2：写出下列普通方程的一个参数方程：例3:已知M为椭圆22194xy上一点，点Ｍ到直线的距离为d，求d的最大值和最小值．2100xyxyo2100xy法1：数形结合法法2：参数法解法1解:设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程为20xym2219420xyxym由得2225164360ymym22(16)425(436)0mm得225m令结合图形可知5mxyo2100xy切线到直线的距离为所求d最值2100xyminmax22|510|,5,3512ddd解得xyo2100xy法2：参数法Ｍd例3:已知M为椭圆22194xy上一点，点Ｍ到直线的距离为d，求d的最大值和最小值．2100xy已知椭圆，点P(x,y)是椭圆上一点，⑴求x2＋y2的最大值与最小值；⑵求3x＋5y的范围；1162522yx课堂练习:课堂小结:1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.称为离心角,规定参数的取值范围是.[0,2)3.利用参数方程解题，其优势是减少未知量，易于建立函数模型解题。直线的参数方程eM解：普通方程为：00tan()yyxx000(,)MMxxyy在直线上任意取一点M（x,y）(cos,sin)e设e是直线l的单位向量则：一.求直线的参数方程问题.求经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程.00//,,,eMMtRMMte存在使＝00,)(cos,sin),xxyyt即，(xyO0M从而可以得到经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程.：00x=x+tcosαy=y+tsinα思考：t的几何意义是什么？(t为参数)0||||MMt题型1：对直线的参数方程的理解(1)经过点M(－1,3),倾斜角为45°;练习1、写出下列直线的参数方程(2)倾斜角余弦值为，且过点P(2,2)；33(3)过点P(4,-1)且与直线l：平行。tytx131221353例1：已知过P0(2,1)的直线参数方程为L1：（t为参数）(1)试判断点M（－1，5）是否在该直线上；（2）求|P0M|.3x=2-t54y=1+t52.对参数t的理解题型1：对直线的参数方程的理解参数方程与普通方程的互化下面的方程各表示什么样的曲线：222(1)321(2)194yxxxy例：2x+y+1=0直线13()12xttyt（）为参数)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx)(2sin1cossin2为参数）（yx2、参数方程化为普通方程)()1,1()1(32,211111包括端点为端点的一条射线这是以得到代入有）由解：（xxytyxttxyxo(1,-1)代入消元法这是抛物线的一部分。得到平方后减去把所以].2,2[,2sin1cossin],2,2[),4sin(2cossin)2(2xyxyxxxoy22三角变换消元法步骤：1、写出定义域（x的范围）2、消去参数(代入消元，三角变换消元)参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：练习：练习：