第5章 刚体的定轴转动

第五章刚体的定轴转动转轴FrM一、力矩复习1.大小：M=rFsinθ3.作用于质点上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。MFr)FFF(rFrFrFrMnnii2121力矩满足叠加原理2.方向：由右手螺旋定则确定。注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，若F不再该平面上，可将F分解为垂直于转轴和平行于转轴的两个分力，力矩是指的是在转动平面内力F⊥（平行于平面的力的投影）。pFrF⊥F//OZ二、质点的角动量vmrPrLsinsinmrvrPL1.大小：2.方向：vmr用右手螺旋定则确定。mPLrOxyz三、质点的角动量定理dtLdM——质点的角动量原理即：质点所受的合外力矩等于它的角动量的变化率。积分关系LLddtMLLtt2121角动量定理：质点角动量的增量等于质点受到的冲量矩一、概念在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。1.刚体:ΔmiΔmｊｒiｊ(1)刚体是固体物件的理想化模型。质元第一节刚体的运动2.刚体的运动形式:刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上,这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化,则称定轴转动。⑵转动:转动是刚体的基本运动形式之一。⑴平动：转轴在描述刚体的平动时,可以用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。⑶刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图,车轮的转动。转动平面二、刚体定轴转动的描述转动平面:取垂直于转轴的平面为参考系,称转动平面。,viΔmi转轴其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同.一般用角量描述。1.特点:ox转动方向ZθPrpo2.角位移1.角位置θ2.定轴转动的角量描述dtdrvP点线速度ω转动平面vθＰrpooX转动方向Z4.角加速度矢量)s/rad(dtd23.角速度:方向与转动方向成右手螺旋法则。当减速转动时,与方向相反;当加速转动时,与方向相同；５.当角加速度是常量时：)(02022t02210tt)(单位：rad/s角速度是矢量。P点线加速度raran2由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。,将刚体看成许多质量分别为m1;m2…mi……mn的质点;各质点距转轴的距离分别为r1、r2、ri、rn各质点速率分别为v1、v2、vi、vnoi1.第i个质点对转轴的角动量ωZmi第二节刚体定轴转动定律一、刚体的角动量iiLL2.刚体的角动量iiiivmriiimr2riviiiiivmrLiipriiimrL2iii)mr(2定义：iiimrJ)(2-------刚体对于转轴的转动惯量JL刚体的角动量JL大小：方向：的方向。与线量比较：JLmvp)(转动惯性转动惯量J)(平动惯性惯性质量miMM2.整个刚体受合外力矩：FiωZmioirivi力矩的方向:二、刚体所受力矩设刚体受外力：F1、F2…Fi…Fn1.当质元受合外力Fi时该力对转轴的力矩沿转轴方向,并与矢径及成右手螺旋法则。rF定轴转动:iMMM定轴转动中，M的方向可用正、负区分如：使刚体逆时针转动，M0使刚体顺时针转动，M0（代数和）iiiFrM分析：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大。mlodmxdxx例1一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩Mr。刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jririjijFjiFdOijMjiM3.刚体的内力矩jiijMM结论：对于刚体所受力矩只需考虑外力矩即可221lglmlmgMr21rrdMMlxx0dg方向向下mlodmxdxxxgdmrFdMrr)(sinxxdglmxddm质量线密度gdmdFr)(摩擦力微元解：建立坐标轴，在处选的线元xdx三、刚体定轴转动定律iiMMtddJJJM——刚体转动定律刚体定轴转动定律：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。特例：平衡时，β=0，∴M=0(合力矩为零）iitdLdiiLdtddtLd刚体定轴转动：JM应用时注意：M、的正负号.iiirmJ21、分立刚体:转动惯量等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的总和。mioiri2、连续刚体:dmrJ2dmor四、转动惯量的计算对质量线分布的刚体：：质量线密度lmdd对质量面分布的刚体：：质量面密度smdd对质量体分布的刚体：：质量体密度VmdddmrJ2R例1.刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJr1r2r3m1m2m3转轴oRZ例2.求质量为m，半径为R的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。dmdmRJ2mdmR22mR解:解：设面密度为，取半径为r宽为dr的薄圆环rdrdsdm22402221212mRRrdrrdmrJR例3:求质量为m、半径为R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。rdrO解:设棒单位长质量:1.绕中心轴的转动惯量，按如图⑴所示建立一维坐标系,2.绕一端的转动惯量，按如图⑵所示建立一维坐标系dmxJ21dmxJ22ox图⑴λ=m/l,dxdxxll2222121mldxxl02231mldm=λdxdm例4质量为m，长为l的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。ox图(2)dmdx记住几个典型的转动惯量：*圆环（通过中心轴）…………………J=mR2*圆盘、圆柱（通过中心轴）…………*细棒（端点垂直轴）…………………*细棒（质心垂直轴）…………………221mRJ231mLJA2121mLJcZ五、转动惯量的物理意义及性质:⑴转动惯量是刚体转动惯性大小的量度;⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关;⑷转动惯量具有迭加性;J=J1+J2+J3⑶转动惯量具有相对性;ZCdZ’刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。⑸平行轴定理：J=Jc+md2如图一质量为M长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求:杆转到与水平方向成θ角时,杆的角加速度是多少?解:设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为222312MlmllmJ该系统所受的合力矩为cosmglcoslmgcoslMgM22cosgl)Mm()mM(41536由转动定律:M=Jβ可得方向:指里。θlmg例:mgMgm2m1r例2.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度．开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度：Jrmmgrmm22121Jrmmgrtmmt22121(T1－T2)r＝J且有：a＝rT2－m2g＝m2am1g－T1＝m1a解方程组得：解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为由牛顿第二定律：隔离物体分析力方向如图转动定律：m1gT1T1T2T2m2gaa注意：21TTmrmm2m2r例3.质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．列方程mg－T2=ma2T1－mg=ma1T2(2r)－T1r=9mr2/22r=a2r=a1rg192mgT2T2T1T1mga2a1解：受力分析如图．解联立方程，得：练习1：如图所示,有两个质量分别为M1、M2，对转轴的转动惯量分别为,半径分别为R1、R2的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳,其两端挂着质量分别为m1和m2的物体。若m1m2,忽略轴承处的摩擦,且绳子与滑轮间无相对滑轮,求滑轮的角加速度及绳子的张力T1、Ｔ2、T3。m2m1T2T1T3M1R1M2R2解：隔离物体分析力m1gm2gT1T1T3T3T2T2由牛顿第二定律和转动定律可列方程如下:2222amTgm1111amgmT222223221RMR)TT(222111RaRa121111321RMR)TT(2222121211RM,RM12121121RgMM)m2(m)m2(mgmMM)m)MM(T12221411112(mm22122RgMM)m)1122(mm2(mgmMM)m)MM(T22222411112(mmgMM)m)MM(T2223411112212(mmmmm当M1，M2质量可以忽略时T1=T2=T3rivimiＰωZoi一、冲量矩----力矩作用于刚体的时间累积效应21ttMdt定义:二、角动量定理:JL1.刚体对转轴的角动量:2.角动量定理:122121LLdtdtLddtMttttdtLdM转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转动物体角动量的增量。角动量也称动量矩。3.角动量定理的意义:第三节对定轴的角动量守恒三、角动量守恒定律:由角动量定理可知：dtLdM1.角动量守恒有两种情况:注意:当刚体所受合力矩为零时即M=0时,其角动量L保持守恒。3.角动量守恒定律与动量守恒定律、能量守恒定律一样都是自然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变;二是两者都变但二者的乘积不变。恒量J（M=0时）2.0iF0iM0iF0iM0iF0iM例：(i)1F2F(ii)1F2F2224874121Ml)l(MMlJ(2)碰前棒作平动，对O点的角动量按质心处理。故有MlvlMvL414解：(1)细棒绕O点的转动惯量(3)设碰后的角速度为ω。碰撞中外力矩为零，角动量守恒，JMlv41vl712vlO4l例1光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M的均匀细棒，以速度v运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕O点转动，(1)细棒绕O点的转动惯量；(2)碰前棒对O点的角动量；(3)碰后棒转动的角速度。求：所以例2.如图所示，在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，已知圆盘对中心轴的转动惯量为。12R212MRRvR/2(1)人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒．RRvv221盘对地人对盘人对地解：0）（人盘人对地人盘JJJJR21求：(1)圆盘对地的角速