2019高职高考数学复习-曲线的方程

8.3曲线的方程【复习目标】1.理解曲线与方程的概念.2.会求两曲线的交点坐标.3.掌握求点的轨迹方程的一般方法.【知识回顾】1.曲线与方程的关系如果曲线C和方程F(x,y)=0之间存在如下关系:(1)曲线C上任一点的坐标(x,y)都满足F(x,y)=0;(2)以方程F(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C是方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0是曲线C的方程.2.求曲线方程的步骤(1)建立合适的坐标系;(2)设动点;(3)写条件式;(4)建立方程;(5)化简方程;(6)证明方程(一般省略不证).3.求曲线的交点设曲线C1:F1(x,y)=0;曲线C2:F2(x,y)=0,则C1和C2的交点(x,y)⇔𝑭𝟏(𝒙,𝒚)=𝟎𝑭𝟐(𝒙,𝒚)=𝟎的解(1)方程组有几个不同的解,则曲线就有多少个不同的交点.(2)特殊地,若求曲线与坐标轴的交点,可令x=0(或y=0)而得到.【例题精解】【例1】下面四点不在曲线x-2xy+y=2上的是()A.(1,-1)B.(-1,1)C.(1,1)D.(2,0)【分析】本题是选择题用验证法将四个选项代入方程得A、B、D三点坐标均满足方程,选C.【例3】求直线2x-3y+3=0与抛物线x2=3y的交点.【例2】若点P(t,-5)在曲线x2-𝟐𝟓xy+3y=0上,则t=.【分析】点P(t,-5)在曲线x2-𝟐𝟓xy+3y=0上,则点P(t,-5)的坐标满足方程x2-𝟐𝟓xy+3y=0,将P(t,-5)坐标代入方程得t=-5或t=3.【分析】求曲线的交点,只需解两曲线方程构成的方程组.【解】解方程组𝟐𝒙−𝟑𝒚+𝟑=𝟎𝒙𝟐=𝟑𝒚得:𝒙=−𝟏𝒚=𝟏𝟑或𝒙=𝟑𝒚=𝟑所以两条曲线的交点是(-1,𝟏𝟑)、(3,3).【解】设点P(x,y)为轨迹上的任意一点,做点P到直线x=-1的垂线PN,垂足为N(如图)则点P满足|PF|=|PN|即(𝒙−𝟏)𝟐+𝒚𝟐=|x+1|化简得:y2=4x【例4】一动点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,求动点的轨迹方程.【同步训练】【答案】C一、选择题1.已知曲线的方程:y2-2x+2y-1=0与点(0,0)、(1,1)、(-1,1)、(-1,-1),这四个点中,在此曲线上的点的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】C2.已知方程ax+4y-1=0过点(3,2),则a的值等于()A.3B.-3C.-𝟕𝟑D.𝟕𝟑【答案】D3.曲线x2+y2=1与坐标轴交点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C4.方程16x2+25y2-96x-256=0所表示的曲线在x轴上的截距是()A.-2B.8C.-2或8D.2或-8【答案】A5.方程x2-y2=0表示的曲线是()A.两条相交直线B.两条平行直线C.两条重合直线D.一个点【答案】C6.下面各对曲线方程表示的两条曲线相同的是()A.y3=x3与y=|x|B.xy=1与y=|𝒙|𝒙𝟐C.𝒙𝒚=1与𝒚𝒙=1D.y=(𝒙)2与y=𝟐𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙【答案】B7.动点P到点(1,-2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【答案】D8.直角坐标系内到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是()A.y=xB.y=-xC.y=|x|D.y=±x【答案】A9.动点P(x,y)到点O(0,0)的距离是到点A(3,-3)的距离的𝟐倍,则点P的轨迹方程是()A.x2-12x+y2+12y+36=0B.x2+6x+y2-12y+36=0C.x2+12x+y2-12y+36=0D.x2-6x+y2+6y+18=0【答案】C222222210.(1,0)(1,0)A.1B.1(1)C.1(0)D.1ABPxyxyxxyxyx与和两点连线的斜率的乘积等于-1的动点的轨迹方程是二、填空题11.点A(m,n)是抛物线y=x2+2x+1上的一点,若m=-1,则n=;若n=4,则m=.12.直线x-y-2=0和y=2x+b的交点为(1,p),则p=,b=.13.直线y=x和抛物线y=x2+2x-6的交点坐标是.14.方程x2+y2=0表示的曲线是.15.到坐标原点的距离等于3的动点的轨迹方程是.0-3或1-1-3(-3,-3)或(2,2)一个点(0,0)x2+y2=9【解】解方程组𝒚=𝒙−𝟐𝒚=−𝒙𝟐得𝒙𝟏=−𝟐𝒚𝟏=−𝟒𝒙𝟐=𝟏𝒚𝟐=−𝟏∴所求线段长为(𝟏+𝟐)𝟐+(−𝟏+𝟒)𝟐=3𝟐三、解答题16.求曲线y=x-2被抛物线y=-x2截得的线段长.17.动点P到点A(3,0)的距离等于它到点B(-6,0)的距离的一半,求动点P的轨迹方程.【解】设P(x,y),如下图由题知|PA|=𝟏𝟐|PB|∴(𝒙−𝟑)𝟐+𝒚𝟐=𝟏𝟐(𝒙+𝟔)𝟐+𝒚𝟐化简得3x2+3y2-36x=0∴所求曲线的方程为x2+y2-12x=0【解】如下图,设M(x,y),过M作x轴垂线交x轴于N.由题知|MA|=|MN|即𝒙𝟐+(𝒚−𝟓)𝟐=|y|y2=x2+y2-10y+25∴方程为x2-10y+25=018.动点M到x轴的距离与到点A(0,5)的距离相等,求动点M的轨迹方程.