【最新中考数学复习方案】(江西・人教版)：专题五 圆的综合题(共24张PPT)

专题五圆的综合题专题五圆的综合题考点探究圆的综合题往往根据圆的有关性质及与圆有关的位置关系综合考查代数、几何相关知识的问题，充分考查学生的综合能力．在近几年江西中考试题中以解答题为主，填空题、选择题形式考查的较少，预计2015年仍会延续此命题方式．专题五圆的综合题考向互动探究【点拨交流】1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？2．满足什么条件时，△OPC的面积最大？3．满足什么条件时，∠OCP的度数最大？怎样求∠OCP的度数？4．证明一条直线是圆的切线有哪些方法？考点探究专题五圆的综合题考点探究1．本题综合考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、解直角三角形等知识．解题的关键是掌握有关性质和判定方法，能添加辅助线解题．2．把OC当作△OPC的底，其为定值4，要使△OPC的面积最大，则需使OC边上的高(点P到OC的距离)最大，由点P在⊙O上，可知当OP⊥OC时OP最长，此时OP是OC边上的高．3．当CP是⊙O的切线，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大，通过解Rt△OPC可求得此时∠OCP的度数．专题五圆的综合题考点探究4．(1)若已知这条直线与圆的交点，则只需要说明该直线与过该交点的半径垂直(简记为“连半径，证垂直”)；(2)若已知这条直线垂直于某条半径，只需要说明该垂足与圆心的连线的长度等于半径即可(简记为“作垂线，证相等”)．专题五圆的综合题【解题思路】考点探究专题五圆的综合题例1[2014•江西]如图T5－1①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB.当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．考点探究专题五圆的综合题考点探究图T5－1专题五圆的综合题考点探究解：(1)∵△OPC的边长OC是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高取最大值，此时△OPC的面积最大．∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，∴S△OPC＝12OC·OP＝12×4×2＝4，即△OPC的最大面积为4.(2)当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大．在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，专题五圆的综合题考点探究∴sin∠OCP＝OPOC＝12，∴∠OCP＝30°.专题五圆的综合题考点探究(3)证明：连接AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，专题五圆的综合题考点探究∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，专题五圆的综合题考点探究∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．专题五圆的综合题考点探究针对训练如图T5－2，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．图T5－2专题五圆的综合题考点探究解：(1)连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，连接OA.因为BC＝23，所以CD＝12BC＝3.又OC＝2，所以sin∠DOC＝CDOC，即sin∠DOC＝32，所以∠DOC＝60°.又OD⊥BC，所以∠BAC＝12∠BOC＝∠DOC＝60°.专题五圆的综合题考点探究(2)因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC的面积最大，即点A是BAC︵的中点时，△ABC的面积最大．因为∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形．在Rt△ADC中，AC＝23，DC＝3，所以AD＝AC2－DC2＝（23）2－32＝3，所以△ABC面积的最大值为12×23×3＝33.专题五圆的综合题考点探究【点拨交流】1．本题考查了哪些知识？2．如何证明PA是⊙O的切线？3．要求点B的坐标，需要构造一个直角三角形，怎样构造呢？4．要求点B的坐标，需要求出哪几条线段的长度？5．怎样求直线AB所对应的函数解析式？专题五圆的综合题考点探究1．本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．2．PA与圆有交点，因此只需要说明该直线与过该交点的半径垂直，可通过已知条件证∠DAP＝90°即可．3．要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴和y轴的距离，自然联想到连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，从而构造Rt△OBD.专题五圆的综合题考点探究4．在构造Rt△OBD后，需要先求出线段OC，BC的长度，再求出BD，OD的长度即可．5．已知点A，B的坐标，用待定系数法可求出直线AB所对应的函数解析式．专题五圆的综合题【解题思路】考点探究专题五圆的综合题例2[2013•江西]如图T5－3，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)求点B的坐标；(3)求直线AB所对应的函数解析式．考点探究图T5－3专题五圆的综合题考点探究解：(1)证明：依题意可知A(0，2)．∵A(0，2)，P(4，2)，∴AP∥x轴，∴∠OAP＝90°，且点A在⊙O上，∴PA是⊙O的切线．(2)连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D.∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，即∠OBP＝∠PEC.又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PCE，∴△OBC≌△PEC，∴OC＝PC.专题五圆的综合题考点探究设OC＝PC＝x，则有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x，在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2，∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝52，∴BC＝CE＝4－52＝32.∵12OB·BC＝12OC·BD，即12×2×32＝12×52×BD，∴BD＝65，∴OD＝OB2－BD2＝4－3625＝85，专题五圆的综合题考点探究由点B在第四象限可知点B的坐标为85，－65.(3)设直线AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，由A(0，2)，B85，－65，可得b＝2，85k＋b＝－65，解得b＝2，k＝－2，∴直线AB所对应的函数解析式为y＝－2x＋2.