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考纲要求考纲研读1.掌握“归纳-猜想-证明”这一基本思路.2.了解数学归纳法的基本原理.3.能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题.1.数学归纳法证明命题,格式严谨,必须严格按步骤进行;2.归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形;3.由k推导到k+1时,有时可以“套”用其他证明方法,如:比较法、分析法等,表现出数学归纳法“灵活”的一面.第3讲数学归纳法1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是_____________________,第二步是______________________,两步缺一不可.2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括___________________________________________________.归纳递推(或归纳假设)恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等归纳奠基(或递推基础)1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证()CA.n=1时成立B.n=2时成立C.n=3时成立D.n=4时成立解析:多边形至少有三边.时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是()2.用数学归纳法证明:1+12+13…+12n-1n,(n∈N*且n1)A.2kB.2k-1C.2k-1D.2k+1A3.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为()CA.f(n)+n+1C.f(n)+n-1B.f(n)+nD.f(n)+n-2解析:在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n-1条对角线.4.设平面内有n(n≥2)条直线,其中任意两条不平行,任意)三条不过同一点,则它们的交点的个数f(n)为(A.n(n+1)B.n(n-1)C.12n(n+1)D.12n(n-1)D解析:由特殊到一般,得f(n)=12n(n-1).14n2-1猜想an的表达式,其结果是_________.5.在数列{an},a1=13且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,解析:a1=13且Sn=n(2n-1)an得,a2=115,a3=135,a4=163,由1×3,3×5,5×7,7×9,…可得an=12n-12n+1.考点1对数学归纳法的两个步骤的认识例1:已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=)k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明(A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立解题思路:从数学归纳法的两个步骤切入,k的下一个偶数是k+2.解析:因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2.故选B.答案:B用数学归纳法证明时,要注意观察下列几个方面:(1)n的范围以及递推的起点;(2)观察首末两项的次数(或其他),确定n=k时命题的形式f(k);(3)从f(k+1)和f(k)的差异,寻找由k到k+1递推中,左边要加(乘)上的式子.【互动探究】1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an=1-an+11-a(a≠1,n∈)BN*)时,在验证n=1时,左边计算所得的式子是(A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a4解析:n=1时,左边的最高次数为1,即最后一项为a,左边是1+a.+n+n242.用数学归纳法证明不等式11n+1n+2+…+113的过程中,由k推导到k+1时,不等式左边增加的式子是___________.解析:求f(k+1)-f(k)即可.当n=k时,左边=++增加的式子是+-,即11k+1k+2+…+1k+k·n=k+1时,左边=11k+2k+3+…+1k+1k+1.故左边1112k+12k+2k+112k+12k+2.12k+12k+2考点2用数学归纳法证明恒等式命题例2:是否存在常数a,b,c,使等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=nn+112(an2+bn+c)对一切正整数n都成立?证明你的结论.解题思路:从特殊入手,探求a,b,c的值,考虑到有3个未知数,先取n=1,2,3,列方程组求得,然后用数学归纳法对一切n∈N*,等式都成立.解析:把n=1,2,3代入得方程组a+b+c=24,4a+2b+c=449a+3b+c=70,解得a=3b=11c=10,猜想:等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=nn+112(3n2+11n+10)对一切n∈N*都成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,由上面可知等式成立.(2)假设n=k时等式成立,即1·22+2·32+…+k(k+1)2=kk+112(3k2+11k+10),则1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=kk+112(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=kk+112(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2=k+1k+212[k(3k+5)+12(k+2)]k+1k+2=12[3(k+1)2+11(k+1)+10].∴当n=k+1时,等式也成立.综合(1)(2),对n∈N*等式都成立.这是一个探索性命题,“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题特别有效,要求善于发现规律,敢于提出更一般的结论,最后进行严密的论证.从特殊入手,探求a,b,c的值,考虑到有3个未知数,先取n=1,2,3,列方程组求得,然后用数学归纳法对一切n∈N*,等式都成立.【互动探究】3.用数学归纳法证明:n∈N*时,11×3+13×5+…+12n-12n+1=n2n+1.证明:(1)当n=1时,左边=11×3=13,右边=12×1+1=13,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有11×3+13×5+…+12k-12k+1=k2k+1,则当n=k+1时,11×3+13×5+…+12k-12k+1+12k+12k+3=k2k+1+12k+12k+3=k2k+3+12k+12k+3=2k2+3k+12k+12k+3=k+12k+3=k+12k+1+1,所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.考点3用数学归纳法证明整除性命题例3:试证:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证法一:(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),∴n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,对任意的n∈N*,命题都成立.证法二:(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设,设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数),将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1时命题成立.根据(1)(2)可知,对任意的n∈N*,命题都成立.【互动探究】4.求证:二项式x2n-y2n(n∈N*)能被x+y整除.证明:(1)当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除,命题成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,x2k-y2k能被x+y整除,那么当n=k+1时,x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),显然x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,对任意的正整数n命题均成立.考点4用数学归纳法证明不等式命题例4:已知数列{an}和{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}的前n和为Sn.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1Tn;(3)求证:对任意的n∈N*有1+n2≤2nS≤12+n成立.解析:(1)由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1.整理得bn-bn+1=bnbn+1,∵bn≠0,否则an=1,与a1=2矛盾,从而得1bn+1-1bn=1.∵b1=a1-1=1,∴数列1bn是首项为1,公差为1的等差数列.∴1bn=n,即bn=1n.(2)∵Sn=1+12+13+…+1n,∴Tn=S2n-Sn=1+12+13+…+1n+1n+1+…12n-1+12+13+…+1n=1n+1+1n+2+…+12n.证法一:∵Tn+1-Tn=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+1n+2+…+12n=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2=12n+12n+20.∴Tn+1Tn.证法二:∵2n+12n+2,∴12n+112n+2.∴Tn+1-Tn12n+2+12n+2-1n+1=0.∴Tn+1Tn.(3)用数学归纳法证明:①当n=1时1+n2=1+12,2nS=1+12,12+n=12+1,不等式成立;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即1+k2≤S2k≤12+k,那么当n=k+1时,12kS=1+12+…+12k+…+12k+1≥1+k2+12k+1+…+12k+11+k2+12k+1+…+=1+k2+12=1+k+12.12kS=1+12+…+12k+…+12k+1≤12+k+12k+1+…+12k+112+k+=12+(k+1).∴当n=k+1时,不等式成立.综合①②知对任意的n∈N*,不等式成立.对代数式2nS到12nS的变化规律理解不透,即对该代数式的变化性质不理解,所以由n=k变化到n=k+1时,左边的代数式到底增加了多少项,哪些项,如果找得不恰当,就会使该题做不下去;当然本题还要用到放缩法,注意把握放缩适度.1.用数学归纳法证明问题时应注意(1)第一步验证n=n0时,n0并不一定是1.(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清由k到k+1时命题的变化.(3)由假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立,要充分利用归纳假设,要恰当地“凑”出目标.2.用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1的关键是,要注意初始值,要弄清n=k和n=k+1时的结论是什么,要有目标意识,紧盯n=k+1时的结论,对n=k时的结论进行一系列的变形,变形的目标就是n=k+1时的结论,这就是所谓的“凑假设,凑结论”.
本文标题:第十章 第3讲 数学归纳法 【更多关注@高中学习资料库 加微信:gzxxzlk做每日一练】
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