傅里叶变换(周期和非周期信号)

傅里叶（Fourier）变换周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换性质1、三角函数式傅里叶级数周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数2、指数形式的傅里叶级数)sincos()(0010tbtaatfnnn或)cos()(010nnntncctfdttfTaTT22-0)(1dttntfTaTTn220cos)(2dttntfTbTTn220sin)(200ac22nnnbac1、三角函数式傅里叶级数(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点；(2)在任意周期内存在有限个的极值点；(3)在任意周期上是绝对可积的，即若周期函数)(tf满足狄里赫利（Dirichlet）条件:dttfTtt)(00周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数可以展开为三角形式的傅里叶级数，为)sincos(2sinsin2coscos)(0010020102010tnbtnaatbtbtataatfnnn式中,dttfTaTT22-0)(1dttntfTaTTn220cos)(2式中，ω0=2π/TdttntfTbTTn220sin)(2利用三角函数的边角关系，还可以将一般三角形式化为标准的三角形式)cos()sinsincos(cossincos)sincos()(010001002202222100010nnnnnnnnnnnnnnnnnnntncctntncatbabtbaabaatbtaatf)cos()(010nnntncctfdttfTacTT22-00)(1nnnnnnabbacarctan,22式中，1、三角函数式傅里叶级数周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数)sincos()(0010tbtaatfnnn或)cos()(010nnntncctf任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),可以展开成如下两种形式的三角级数：正、余弦级数形式谐波形式ω0是基谐波角频率,简称基波频率。例1已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。tttttf00003sin21sin2)452cos(cos21)(解：将f(t)整理为标准形式)23cos(21)42cos()4cos(21)23cos(21)452cos()4cos(21)(000000tttttttf振幅谱与相位谱如下图所示。例1的频谱图0211cn000n0004π4π2π－－(a)(b)210振幅频谱图相位频谱图)23cos(21)42cos()4cos(21)(000ttttf2、指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数tjnneFtf0n)(式中，n-)(1220TTtjnndtetfTF证明傅里叶复系数2、指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数tjnneFtf0n)(式中，n-)(1220TTtjnndtetfTF证明Next傅里叶复系数Fn还可以表示成模和幅角的形式njnneFFnnnnnnnabFbaarctan2122式中，njneF）（nnjbaF-21n)sincos()(0010tbtaatfnnn或)cos()(010nnntncctftjnneFtf0n)(dttfTcaFTT22-000)(1)(1220TTtjnndtetfTFnnjnnnjnnecjbaeFF2121nnnncFba212122三角形式与指数形式系数之间的关系0000－0－0－021c22c23cnFn2π4π4π2π－4π－4π－－0－0－0000(a)(b)012141幅度频谱相位频谱例1的指数形式频谱图如下图所示。0211cn000n0004π4π2π－－(a)(b)210振幅频谱相位频谱三角函数形式的频谱图双边频谱（DoubleSideBand)单边频谱（SingleSideBand)Next傅里叶级数指数形式推导00sincos0njnejn利用欧拉公式)(21sin)(21cos000000jnjnjnjneejneen可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成)sincos()(0010tbtaatfnnn1tt0)22(0000ntjnjnntjnjnnjeebeeaa1t0)22-(00ntjnnnjnnnejbaejbaa1n*1n000ntjnntjneFeFF是一对共轭复数与是实数，n*n00FFaF）（），（nnnnjbaFjbaF21-21n*ntjnneFtf0n)(由三角形式的傅里叶系数定义式dttntfTaTTn220cos)(2dttntfTbTTn220sin)(2可知：an是的偶函数，bn是的奇函数0n0n当n换为-n时，有a-n=an,b-n=-bn，从而）（）（nnnnjbajba21-21--）（），（nnnnjbaFjbaF21-21n*n即n-n*FFn=1,2,3,…1n*1n000)(ntjnntjneFeFFtfn-n*FFn=1,2,3,…1n-0ntjneF=1n0ntjneF0n00ntjneFF1n0n00)(ntjnntjneFeFtftjnneFtf0n)(22n0)(1-21TTtjnnndtetfTjbaF）（例：周期矩形脉冲1.三角函数形式的傅里叶级数2.指数形式的傅里叶级数3.频谱特点……1T1T22)(tftAO脉宽为脉冲高度为周期为A1T1.三角函数形式的傅里叶级数周期矩形脉冲)sinncos()(1110tnbtaatfnnndttfTaTT22-10111)(dtAT22-111TAdttntfTaTTn2211112cos)(dttnAT22112cos22111sinn2tnTA2n21nAsindttntfTbTTn221111sin)(2022211dttnATsin)2(a11nSA)2(a211nSTA1.三角函数形式的傅里叶级数周期矩形脉冲)sinncos()(0010tnbtaatfnnntnnnATA111n122cossin......3cos23sin322cossincos2sin21111111tAtAtATA2.指数形式的傅里叶级数周期矩形脉冲tjnneFtf1)(n221111)(1TTtjnndtetfTF22111dtAeTtjn221111tjnejnTAjeeTnAnjnj2-2221111)2(sin1nnA)2(Sa11nTAtjnnenTAtf1)2()(11SaFn1n3.频谱及其特点周期矩形脉冲)2(11nTAFnSa41T图中112TAF0246642(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点；(2)频谱包络线过零点的横坐标是：1,2,3...)(k21kn每条谱线只出现在处1n3.频谱及其特点周期矩形脉冲)2(11nTAFnSa(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点；(2)频谱包络线过零点的横坐标是：1,2,3...)(k21kn每条谱线只出现在处1n(3)各谐波分量的振幅(绝对值）随着n的增大而逐渐减小：Fn1n41T图中112TAF02466423.频谱及其特点周期矩形脉冲Fn1n41T图中112TAF0246642周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性有效频带有效频带：Fn1n41T图中112TAF0246642在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称为有效频带。有效频带的带宽——规定为由坐标原点至频谱包络第一个零点之间的频带。f1f2或以下图为例fBB有效频带：Fn1n41T图中112TAF02466421f2或以下图为例信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄；信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。信号的周期、持续时间与频谱的关系1.τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。但包络过零点坐标并不改变。TAF02.T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度保持不变，但包络过零点的间隔将增大。Back非周期信号的傅立里叶变换dte)t(f)(F:)(F)t(ftj两个重要公式：de)(F21)t(f)(FF:)t(f)(Ftj1-傅里叶变换关系对常简记为：)(F)t(f例：求矩形脉冲f(t)的频谱。2|t|02|t|A)t(AG)t(f22)(tftAOdte)t(f)(Ftj22tjdteA2j2jeej-A2sinA2)2(SaA)2(SaA)F(22)(tftAO非周期信号频谱的特点：①是连续频谱;②脉宽与频宽成反比。)F(242ABack周期冲激序列频谱例求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数表示式nTnTtt)()(n=0,1,2,….0T2T-T-2T3Tt-3TδT(t)周期冲激序列频谱2122121()1()1TTTTjntnjntFftedtTtedtTT系数：周期冲激序列频谱1111()1()1jntnnjntjntTnnnjntnftFetFeeTeT则：12T1.线性性质傅里叶变换的几个重要性质)(Fa)(Fa)t(fa)t(fa)(F)t(f),(F)t(f2211212211则若式中，a1、a2为任意常数。例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。)tsgn(t11-1)t(U2)t(sgn21j1)t(Uj22j12)t(sgn2．尺度压、扩性质)a(Fa1)ta(f)(F)t(f则若式中，a为正实常数。2|t|02|t|A)t(AG)t(f例：)2(SaA)F()t2(f)4(SaA213．时延特性0tj0e)(F)t-t(f)(F)t(f则若4．频移特性)(Fe)t(f)(F)t(f0tj0则若Sa(x)xSa(x)函数介绍Sa(x)抽样函数,记作：x