高等数学 1-4 无穷小与无穷大及极限运算法则

第四节无穷小与无穷大及极限运算法则一、无穷小(量)1.定义:若函数)(xf在当0xx时为无穷小,0lim()0.xxfx记作在自变量某种变化下，以零为极限，把称为在该变化下的无穷小(量).)(xf)(xfe.g.,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn无穷小的运算性质:(1)在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn1,,.11不是无穷小之和为个但nn(2)在同一过程中,有限个无穷小的乘积仍是无穷小.(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.201..limsinxegxx求arctan..limxxegx求2sin..lim1xxxexx求()sin..lim01xxxexx填空定理),()()(lim0xAxfAxfxx其中)(x是当0xx时的无穷小.(4)无穷小与函数极限的关系.问题：222()+3xfxx对于，能否将其表示成一个无穷小其极限的形式？二、无穷大(量))(xf记作).)(lim()(lim0xfxfxxx或定义:在自变量某种变化下，可无限增大，把称为在该变化下的无穷大(量).()fx无穷大的运算性质:在自变量的某一变化过程中：(1)两个正(负)无穷大的代数和仍是正(负)无穷大；(2)无穷大与有界量的代数和仍是无穷大；(3)极限不为0的量与无穷大的乘积仍是无穷大；(4)用不为0的有界量除无穷大所得的商仍是无穷大。无穷小与无穷大的关系定理在同一种变化情况下,(1)无穷大的倒数为无穷小;(2)恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.补充：分清无穷小和有界，无穷大和无界这两组概念无穷大必无界，而无界未必无穷大极限运算法则330()..1.I=limhxhxegh求思想：设法消去分子、分母中极限为0的因子2723..2.I=lim49xxegx求233(2)..3.I=lim532nnnnneg求2..4.I=lim(1)xegxxx求2112..5.I=lim()11xegxx求