高等数学(上册)基本公式、概念和方法

一．函数1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;)(1xfxfy（２）0)(;)(2xfxfyn（其中n为正整数）（３）0)(:)(logxfxfya。（４）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（５）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１）若)(),()(xfxfxf是偶函数，若)(),()(xfxfxf是奇函数．（２）若)(xfy的图象关于y轴对称，则函数是偶函数．如xyxycos..2等。若)(xfy的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如xyxyxysin....3３．将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续1．主要概念和计算方法：（１）．AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim0（２）．若0)(lim0xfxx（极限过程不限），则当0xx时)(xf为无穷小量。（3）．若)()(lim00xfxfxx，则函数在0x处是连续的。即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足，则0x是函数的间段点。（4）．间断点的分类：设0x是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x称为第一类间断点。若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x称为第二类间断点。（5）．重要公式：条件0)(limx（极限过程不限）结论《１》1)()(sinlimxx；《２》exx)(1)](1lim[2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（１）定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。（２）不定式：（Ａ）00型：消去零因子或用公式《１》。（Ｂ）型：约去因子，使之变成定式。（Ｃ）1型：用公式《２》。（Ｄ）0型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。（Ｅ）型：通分或有理化，使之转化成其它类型。注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。三．导数（一）基本概念1．导数值：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx，也可以记作0);(0xxdxdyxy。2．导数的几何意义：)(0xf就是曲线)(xfy在点),(00yx处切线的斜率k，其切线的方程是：))((000xxxfyy，法线方程：)()(1000xxxfyy。3.函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。（二）．导数基本公式：1．0)(c2。1)(xx3。aaaxxln)(4。xxee)(5。xx1)(ln6．xxcos)(sin7。xxsin)(cos8。xx2sec)(tan9。xx2csc)(cot（三）微分法（设u和v都是x的函数）1．用定义求导数或导函数。2．vuvu)(3．vuvuuv)(；uccu)(4．2)(vvuvuvu5．设复合函数)(),(xuufy，则xuufy6．设)(xfy由隐函数0).(yxF确定，则yXFFy，也可以直接对方程求导数。7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。8．设参数方程)()(tyytxx，则)()(txtyytt9．微分：dxydy10．反函数的导数：yxxy1附：函数在一点处几个概念之间的关系图四．中值定理与导数应用1．拉格朗日中值定理：条件：函数)(xf在[a,b]上连续，在（a,b）内可导结论：至少存在一点abafbffba)()()(),(使。４．洛必塔法则有定义（函数值存在）有极限连续（极限值等于函数值）可导（可微）适用于和00型极限，注意四种失效题型：3．单调性：若)(xfy在（a,b）内)(0)(xfxf在（a,b）内单调递增。若)(xfy在（a,b）内0)(xf)(xf在（a,b）内单调递减。a)极值存在的必要条件：若0)()(00xfxxfy处可导且取极值在（0x为驻点）b)极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。c)判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内)(xf0，则曲线)(xfy在（a,b）内上凹。如xeyxy...2等。若在(a,b)内)(xf0，则曲线)(xfy在（a,b）内下凹。如xyxyln...1等。２．曲线拐点的求法：设a为函数)(xfy的连续点，若函数)(xfy在a点处二阶导数变号，则曲线上的点（a,f(a)）为曲线的拐点。３．求渐近线的方法：若)(limxfax，则x=a为曲线)(xfy的垂直渐近线。若bxfx)(lim，则y=b为曲线)(xfy的水平渐近线。４．极值应用：i.画图、设变量x，并将其余变量用x表示。ii.建立函数关系，并写出定义域。iii.求函数的一阶导数，找出驻点。iv.说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。五．不定积分1．原函数：在某区间内，若在任一点处均有)()(xfxF，则称F（x）是)(xf的一个原函数。2．若)(xf有原函数F（x），则F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。3．若)(xf有原函数F（x），则)(xf的不定积分可表示为CxFdxxf)()(。4．不定积分的几何意义CxFdxxf)()(表示在x点处切线斜率均为)(xf的一族曲线。5．基本积分公式（1）)1.(111Cxdxx（2）Cxdxxln1（3）)1,0.(ln1aaCaadxaxx（4）Cedxexx（5）Cxxdxcossin（6）Cxxdxsincos（7）Cxxdxtansec2（8）Cxxdxcotcsc2（9）Caxdxxaarcsin122（10）Caxadxxaarctan1122（11）Cxxxdxtanseclnsec（12）Cxxxdxcotcsclncsc6.积分性质（1）dxxfkdxxkf)()(（2）dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([（3）)(])([xfdxxf（4）Cxfdxxf)()(7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换)()(xxddx设)(xu的导数连续，则duufdxxxf)()()]([。（３）分部积分法：vduuvudvvdxuuvdxvu或，要用算式。选u的顺序：反、对、幂、三、指、常。（４）简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。六．定积分1．定积分特点：（1）定积分是一个数，与积分变量无关。（2）被积函数连续是可积的充分条件。（3）被积函数有界是可积的必要条件。2．定积分的几何意义（1）设0)(xf，则badxxf)(表示由曲线)(xfy直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形面积。（2）设0)(xf，则badxxf)(表示由曲线)(xfy直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形的负面积。（3）若)(xfy的符号不定，则badxxf)(表示面积的代数和。由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即0)(aadxxf，其中函数)(xf是奇函数。3．主要性质（1）babadxxfkdxxkf)()(。（2）bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([。（3）badxxf)(bccadxxfdxxf)()(。4．变上限定积分的求导法：)()]([])([)(xxfdttfxa。5．牛顿---莱布尼兹公式条件：设)(xfy在区间[a,b]上连续，F(x)是xf的一个原函数结论：badxxf)(=F（b）--F(a)6.广义积分设xf在区间[a，)上连续，曲ba，则badxxflim)(badxxf)(在区间（，b）上类似定义。7．几个结论baaadxdxxf000)(，abbadxxfdxxf)()()(abkkdxba设xf是偶函数：00)(2)(2)(aaaadxxfdxxfdxxf设xf是奇函数：aadxxf0)(。8．求定积分的方法（1）利用几何意义（画出对应的图形）。（2）直接用牛顿---莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。（3）先求对应的不定积分，在用牛顿---莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。（4）用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。9．定积分应用（1）求平面图形的面积先画出这块面积，用阴影表示出。用定积分表示面积，再求出其值。（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积绕x轴：v=badxy2。绕y轴：v=dcdyx2常用简单公式2222)(bababa2222)(bababa))((22bababasiaxxxxsiaxxxxxx1csc.....cos1sec.....coscot.....cossintanxxxsiaxxcossin22......1cossin221cos2sin21sincos2cos2222xxxxx22cos1sin........22cos1cos22xxxx５．对数01log......1logaaayxxyaxxaaaalogloglog.......(lnlnlog换底公式）xyxyxyxayaaaaloglog........logloglog