高等数学--无穷级数ppt

机动目录上页下页返回结束第十一章无穷级数机动目录上页下页返回结束简介无穷级数常数项级数函数项级数正项级数交错级数任意项级数幂级数傅立叶（属于三角）级数任意项（函数）级数本章主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。机动目录上页下页返回结束第一节常数项级数的概念和性质一、引例二、级数的概念三、基本性质四、收敛的必要条件五、小结机动目录上页下页返回结束一、引例1.【用圆内接正多边形面积逼近圆面积】依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即naaaaA210内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正n103100031003103312.【无限循环小数的和】机动目录上页下页返回结束二、级数的概念1.【级数的定义】【思考】怎样理解无穷级数中无限多个量相加呢？【解析】⑵级数是“无限和”的形式，是“有限和”的自然延续;⑶可以理解为是“有限和”的极限，才构成了级数的“无限和”.⑴加法是有限个数之间的运算，“无限个数相加”是用加法是无法完成的；［定义］给定一个数列,,,,,321nuuuu即称作(常数项)无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项.成的表达式由该数列构nuuuu321机动目录上页下页返回结束【部分和数列】niinnuuuus1212.【级数的部分和】——级数的前n项的和,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus——有限和当n依次取1，2，3，…时，它们构成一个新的数列｛Sn｝机动目录上页下页返回结束3.【级数的收敛与发散】当n无限增大时,如果级数1nnu的部分和数列ns有极限s,即ssnnlim，则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做级数1nnu的和.并写成如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散nuuus21即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)机动目录上页下页返回结束余项nnssr21nnuu1iinu即ssn误差为nr)0lim(nnr【无穷级数收敛性举例】——Koch雪花.［做法］先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．机动目录上页下页返回结束观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形播放机动目录上页下页返回结束,2,1)34(11nPPnn]})91[(4{31121AAAnnnn1121211)91(43)91(43913AAAAnn,3,2n周长为面积为:]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA第次分叉：n于是有nnPlim)941311(lim1AAnn.532)531(1A【结论】雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．机动目录上页下页返回结束【例1】讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.【解】时如果1q12nnaqaqaqasqqan1)1(,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn级数发散aaaa级数变为002nsaasn12机动目录上页下页返回结束不存在nnslim级数发散综上发散时当收敛于时当,11,10qqaqaqnn［要求熟记该结论］【例2】判别无穷级数11232nnn的收敛性.【解】nnnu1232,343n已知级数为等比级数，,34q公比,1||q.原级数发散机动目录上页下页返回结束【例3】判别下列级数的敛散性:【解】(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;［技巧］利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln机动目录上页下页返回结束(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn［技巧］利用“拆项相消”求和【小结】在用定义判别级数的敛散性时，必须设法求出Sn的具体有限表达式，即须将Sn中的省略号“…”消去，才能求极限nnSlim，否则不能直接求出.机动目录上页下页返回结束三、级数的基本性质【推广】级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.【性质1】若级数收敛于S,,1nnuS则级数也收敛,【证】令,1nkknuS则nkknuk1,nSknnlimkS这说明1nnuk收敛,其和为kS.即其和为kS.收敛机动目录上页下页返回结束设两收敛级数1nnus,1nnv,则级数1)(nnnvu收敛,其和为s.【证】令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu)(nS【性质2】这说明级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S机动目录上页下页返回结束【说明】(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.［例如］,)1(2nnu取,)1(12nnv(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束【例4】求级数121)1(5nnnn的和.【解】111115)1(5nnnnnnnknkks11115令),111(5n,5)111(lim5limnsnnn,211是等比级数nn，首项是公比21,121qnnnnlim211,121121121)1(5nnnn1)1(5nnn121nn615故由性质2机动目录上页下页返回结束注意:「敛散性不变，但其和一般要变」【性质3】在级数前面加上、去掉或改变有限项,不会影响级数的敛散性.【证】将级数1nnu的前k项去掉,的部分和为nllknu1knkSS数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS类似可证前面加上或改变有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束【证明】【性质4】收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和数列为原级数部分和数列),2,1(nSn的一个子数列,S因此必有例如机动目录上页下页返回结束【注意】（逆命题不真）收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(1111收敛发散【推论】（逆否命题为真）如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数必发散.「常用此性质来判断一个级数发散」【例如】用反证法可证机动目录上页下页返回结束【例5】判断级数的敛散性:【解】考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.已知调和级数发散机动目录上页下页返回结束四、级数收敛的必要条件级数收敛.0limnnu【证明】1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun【性质5】级数收敛的必要条件:机动目录上页下页返回结束【注意】（逆否命题为真）1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如发散2.必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛有nnun131211例如调和级数机动目录上页下页返回结束讨论【法Ⅰ】利用不等式nnnn1ln)11ln(1)(nnininiiis111ln1)1ln(n)(n.调和级数发散例2(1)已证)0()1ln(xxx-10xyy=xy=ln(1+x)-10xyy=xy=ln(1+x)机动目录上页下页返回结束nnnssnn2121112,212nn.,s其和为假设调和级数收敛)lim(2nnnss于是ss,0.调和级数发散)(210n便有.这是不可能的【法Ⅱ】反证法机动目录上页下页返回结束)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m221则每项均大于21)1(1mm项大于即前.新级数发散由性质4推论,调和级数发散.【法Ⅲ】用性质4推论证：讨论加括号后的级数(每个括号中各项分母均换为最后一项的分母)12m机动目录上页下页返回结束【法Ⅳ】用定积分的几何意义证明考察曲线所围曲边梯形面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系,1xy,1x,1nx0y设的部分和为11nnnsnkkniininAAis1111机动目录上页下页返回结束它显然大于曲边梯形的面积即有nkknAs1)1ln(ln11111nxdxxnn而)1ln(limnn所以Sn的极限不存在故调和级数发散.机动目录上页下页返回结束【例7】判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:【解】(1)令;231)2(123nnnn则nnuu1),2,1(1n故从而这说明级数(1)发散.11)1(!)1(nnnnennnne!机动目录上页下页返回结束123231)2(nnnn因nnn23123),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2)机动目录上页下页返回结束1212)3(nnnnnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121nnn21225232132这说明原级数收敛,其和为3.,3limnnS故(3)机动目录上页下页返回结束五、小结1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;3.按基本性质.常数项级数的基本概念【基本审敛法】机动目录上页下页返回结束观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形机动目录上页下页返回结束观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形机动目录上页下页返回结束观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形机动目录上页下页返回结束观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43