高等数学A CH11-1(软件外包)

第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章1.引例:曲线形构件的质量oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.sM匀质之质量1、分割),,,2,1(nisnLi个子弧段任意分成将,),(iiis任取.),(iiiisM.),(1niiiisM.),(lim10niiiisM近似值精确值个子弧段的长度表示第isi2、近似3、求和4、取极限0is一、对弧长的曲线积分的概念),(yx,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设2.定义oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL,,0这和的极限存在时若当各小弧长的最大值①②③④.),(lim),(,),(,),(10niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即记作第一类曲线积分积分或上对弧长的曲线在曲线弧则称此极限为函数.),(lim),(10niiiiLsfdsyxf被积函数积分弧段积分和式1.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf记为上对弧长的曲线积分在闭曲线函数曲线形构件的质量.),(LdsyxM.),(lim),(10niiiiLsfdsyxf3.存在条件：.),(,),(存在弧长的曲线积分对上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf规定：)(,)(21LLLL是分段光滑的或若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf),(),(),(),(ABLBALdsyxfdsyxf第一类曲线积分与L的方向无关注意：4.性质szyxfd),,()1(（,为常数)szyxfd),,()2((由组成)(l为曲线弧的长度)),,(zyxgszyxfd),,(szyxgd),,(21d),,(d),,(szyxfszyxf二、对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(0)()(,],[)(),()(),(),(,),(2222dtttttfdsyxfttttttytxLLyxfL，则且具有一阶连续导数上在其中方程为的参数上有定义且连续在曲线弧设0基本思路:计算定积分转化求曲线积分xyOxdydsd注意到22)()(dydxsdtdtt)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc)()()()](),([),(22dtttttfdsyxfL（3）如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrfd)()(22rr(5)可利用区域对称与函数奇偶性化简一类曲线积分：为偶函数关于若为奇函数关于若则轴对称关于设分段光滑曲线一类曲线积分)(,),(2)(,0),(:,)(:1xyfdsyxfxyfdsyxfyxLLL(4)推广:)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf0y例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)O1Lxy2xy)1,1(B.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsIL解dyyyI222)2(1.0例3)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解.21222kakaxy42dkaka222sincos20I)20,0(.,sin,cos:,222aazayaxdsyxzI的一段其中求练习)328(3a例4.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)4π0(2cos:1arL利用对称性,得4π022d)()(cos4rrr4π02dcos4aOyx例5.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由变量的对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故dsa32.323a),2(球面大圆周长dsa)0,0(.sin,cos:,)(22aayaxLdsyxIL的一段其中求练习)(3a三、几何与物理意义,),()3(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()1(LdsLyxf弧长时当,),(),()2(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积sL),(yxfz作业：P190T3（奇）T5对弧长的曲线积分的概念.),(lim),(10iniiiLsfdsyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf的长度表示曲线LdsL几何意义物理意义质量小结对弧长的曲线积分的计算(参数方程，直角坐标系，极坐标系))()()()](),([),()(),(),(:22dtttttfdsyxfttytxLL.),(LdsyxfS柱面面积计算法(将重积分化为累次积分)．二重积分的计算.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf（1）直角坐标系下（直线穿刺，摆动扫描）.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf.)sin,cos()()(21rdrrrfd,:D).()(21r（2）极坐标系（射线穿刺，转动扫描）Ddyxf),(（X－型区域）垂直穿刺，左右摆动（Y－型区域）水平穿刺，上下摆动利用对称性简化二重积分的计算.的奇函数是关于的偶函数是关于轴对称，则：关于、且设xfxfdxdyyxfdxdyyxfyDDDDDDD0),(2),(,)112121xy的奇函数或关于是关于的偶函数且关于是关于轴均对称的区域，则：轴、是关于设yxfyxfdxdyyxfdxdyyxfyxDDDDDDD0),(4),()214321一、选择题:1、xdyyxfdx1010),(=()(A)1010),(dxyxfdyx；(B)xdxyxfdy1010),(；(C)1010),(dxyxfdy；(D)ydxyxfdy1010),(.2、设D为222ayx,当a()时,Ddxdyyxa222.(A)1；(B)323；(C)343；(D)321.测验题DB3、当D是()围成的区域时,二重积分Ddxdy=1.(A)x轴,y轴及022yx；(B)31,21yx；(C)x轴,y轴及3,4yx；(D).1,1yxyx4、Dxydxdyxe的值为().其中区域为D01,10yx.(A)e1；(B)e；(C)e1；(D)1.AA5、设DdxdyyxI)(22,其中D由222ayx所围成,则I=().(A)40220ardrada;(B)4022021ardrrda;(C)3022032adrrda;(D)402202aadrada.6、设是由三个坐标面与平面zyx2=1所围成的空间区域,则xdxdydz=().(A)481；(B)481；(C)241；(D)241.BA7、计算zdvI,其1,222zyxz为中围成的立体,则正确的解法为()和().(A)101020zdzrdrdI；(B)11020rzdzrdrdI；(C)11020rrdrdzdI；(D)zzrdrddzI02010.BD期末考题的值为、二重积分1221yxxdxdy分应为在柱坐标下化为三次积则将的公共部分，及是、若zdvzyxzzyx2222222][4342222的值为、二重积分yxdxdyyx32.A332.B316.C0.D020111022rrzdzrdrdC][),(421222，则交换积分次序后得、设xxxdyyxfdxI101122),(.yydxyxfdyIA211122),(.yydxyxfdyIB101122),(.yydxyxfdyIC211122),(.yydxyxfdyIDC