复数的四则运算市公开课(一等奖)

复数的四则运算复数a+bi(a,b∈R)复数a+bi实数a(b=0)虚数(b‡0)纯虚数bi(a=0)非纯虚数a+bi(ab‡0)R(z)=a—实部I(z)=b—虚部两个复数相等设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则z1=z2，dbca即实部等于实部，虚部等于虚部特别地，a+bi=0.a=b=0注：两个复数（除实数外）只能说相等或不相等，而不能比较大小.一.复数的加法与减法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i很明显，两个复数的和仍然是一个复数1.复数加法的运算法则12211231231.();2.()()()zzzzzzzzzz交换律结合律2.加法的运算律xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.3.复数加法运算的几何意义?结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行,复数的和对应向量的和。(a+bi)－(c+di)=x+yi，2、复数减法的运算法则复数减法规定是加法的逆运算∴(c+di)+(x+yi)=a+bi，由复数相等定义，有c+x=a，d+y=b由此，x=a－c，y=b－d∴(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.复数减法运算的几何意义?结论：复数的差Z2－Z1与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i类比就是多项式的合并同类项复数的加（减）法法则就是:实部与实部,虚部与虚部分别相加（减）.例1、计算(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)解：(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)=(2－8－3)+(-3－3+4)i=-9－2i.练习指出复数加法和减法的几何意义212121ZZZZZZ求证：d复平面两点之间的距离21ZZ二.复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i显然任意两个复数的积仍是一个复数.对于任意z1,z2,z3∈C,有z1∙z2=z2∙z1,z1∙z2∙z3=z1∙(z2∙z3),z1∙(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3.交换律复数的乘法运算法则：复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.只是结合律分配律21i换成“”实数集R中正整数指数幂的运算律在复数集C中仍成立，即z、z1、z2∈C，m、n∈N*有zm·zn=zm+n(zm)n=zmn(z1·z2)n=z1n·z2n三.正整数指数幂的复数运算律Z0=1;nnzz1【探究】i的指数变化规律1,,1,4321iiiiii__,__,__,__8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i)(,03424144Nniiiinnnni1i10dcbaiiiidcba有是连续的正整数若,,,,具有周期性，周期T=4【例3】求值：200932iiiiiiiiiiiiiiiiiii12009200820072006200587654320...）（）（）（解：原式思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么(1)定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作?zz,zzabi即?zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:3.共轭复数的概念、性质：(2)共轭复数的性质:.2-2bizzazz；例4：计算①(1+i)2②(1-i)2例题选讲例4：设,求证：i23211401301121322)(;)()()(;)(2i-2i复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.证明：（1）22)2321()2321(11ii;04323412321ii22)23(23212)21(2321iii3313(4)()22i)2321()2321(2ii)2321)(2321(ii22)23()21(i14341例4：设,求证：i2321223(1);(2)1(10)(3)10;(4)1.,,:,113的三个解为方程在复数集中x复数的除法复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足（c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作))(())((dicdicdicbia（a+bi）÷（c+di)或dicbiadicbia22dciadbcbdac)(idcadbcdcbdac2222本质：分母实数化,OK例1：(1+2i)÷(3-4i)解:ii(12)(34)iii222364834先写成分式形式然后分母实数化结果化简成代数形式ii1234iiii(12)(34)(34)(34)i51025i1255常用结论：2)1(i;2iii11i1;iii11;i.i①i②-i③(-1＋2i)/5⑤－1＋256i例题选讲1.计算：①②③（1+2i)÷(3-4i);④　　ii11　　ii1150)12(i⑤i2002+(+i)822200812)(i④1例2.⑴、已知复数z的平方根为3+4i,求复数z;⑵、求复数z=3+4i的平方根.，由题意，知：2)43()1(iz.247i，，设所求复数为)()2(RbRabia，则ibia43)(2，42322abba.-1-212baba，或解得：方程的所有根．并求出的值角若方程有实数根，求锐的方程．设关于例,)(0)2()(tan32Rixixx，解：设方程的实数根为tx，，且，则：0102tan0)1()2tan(22tttittt.451tan1ot，，.2121ixx，(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|练一练2：已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离练一练3:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上1-1ZZZyxo|z－z1|+|z－z2|=2a|z1－z2|2a|z2－z1|=2a|z2－z1|2a椭圆线段无轨迹设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.2.|z-i|+|z+i|=4