随机积分与Ito定理

第八章随机积分—Ito积分第一节引言第二节Ito积分的理论第三节Ito积分的特征第四节Ito定理及应用第五节更复杂情况下的Ito公式第一节引言一、Ito积分的导出在物理现象中是用微分方程来描述其模型，而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系，建立相应的积分方程。但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分—Ito积分，建立积分方程。首页前面讨论的随机微分等式，其中的项都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。即若用微分方程代表资产价格的动态行为，那么能否对两边取积分，即,),(),(ttttdWtSdttSadStSutututudWuSduuSadS),(),(000也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？为解释此项积分的含义，需引进Ito积分ttdWdS、首页也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义即有其中h为一定的时间间隔。若则上等式改写为uhttuhttuthtdWuSduuSaSS),(),(httuthtttthtdWtSdutSaSS),(),(即])[,(),(thtttthtWWtShtSaSS或ttttWtShtSaS),(),(这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式),(uSau和),(uSu是uS和u的平滑函数，即当h很小，它们在],[httu内变化都不大首页此表示式为一近似式，其精确公式为ttttdWtSdttSadS),(),(二、Ito积分的重要性首先随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解Ito积分。其次在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔，得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。返回首页第二节Ito积分的理论Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。布朗运动维纳过程{)(tW，0t}0)]([tWE),min(),(2tstsR||)]()([2stsWtWVar如果11)(tW标准布朗运动/)(tW一、Ito积分的定义首页定义1满足设{)(tX,],[bat}为二阶矩过程，ba0。)(tW是标准布朗运动),min(),(tstsR||)]()([stsWtWVar对],[ba的一组分点btttan10)(max11kknkntt作和式)]()()[(111kkknkntWtWtXI如果均方极限nInl.i.m存在则称此极限为)(tX关于)(tW的Ito积分，记为)()()(tWdtXIba首页注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。)]()()[(11kkknkntWtWtXY],[1kkkttt当kt在],[1kktt中任意选择时，nY的均方极限将不存在定理1设)(tX均方连续，且对任意kkttss121,及121ktss),(),((21sXsX))()(12sWsW与)()(1kktWtW相互独立则)(tX关于)(tW的Ito积分存在且唯一首页定理2设{)(tW,0t}是维纳过程对],[ba的一组分点：btttan10)(max11kknkntt则nl.i.m211))()((kknktWtW)(ab证令)()(1kkktWtWW1kkkttt则221)]([abWEknk221)]([kknktWE221)(kknktWE))(([22jjiijitWtWE)2(2241kkkknkttWWE首页因为)23(2221kkknkttt])[]2[][(2241kkkknktEtWEWE212knktknknt12)(2abn0n0),0(~)(kktNtW4)]([ktWEdxextktxk24221dxexttktxkk222232)]([3kktWEt首页例1解试求)()()(tWdtWIba对],[ba的一组分点：btttan10)(max11kknkntt)]()()[(111kkknkntWtWtWI)()()([1002tWtWtW)()()(2112tWtWtW+…)]()()(112nnntWtWtW)([2102tW)]())()((2211nkknktWtWtW)]()([2122aWbW211))()((21kknktWtW故)()()(tWdtWIba)]()([2122aWbWnl.i.m21211))()((kknktWtW)]()([2122aWbW)(21ab首页注表明Ito随机积分不同于黎曼积分二、Ito积分的性质性质1则因为如果)(tW是普通函数，积分不能有)(21ab若Ito积分)()(tWdtXba，)()(tWdtYba存在（1）)())()((tWdtYtXba)()(tWdtXba)()(tWdtYba（2）)()(tWdtXba)()(tWdtXca)()(tWdtXbcbca证明与黎曼积分相仿（略）首页性质2则证明设维纳过程)()()(sWdsXtYta，)(tY的均值和相关函数为0)]([tYE),min(022121)(),(ttYdssXttR略首页性质3则存在且关于t是均方连续的。证明若)()(tWdtXba存在，)()()(sWdsXtYtabta})]()({[2tYhtYE2)()(sWdsXEhttsdsXEhtt)}({20（0h）故)(tY关于t是均方连续首页三、Ito微分法则)()()()()(sWdsBdssAaXtXtata其中)(sA为二阶矩过程且均方可积,设二阶矩过程)(tX(bta)满足)(sB满足定理1的条件则第二个积分作为Ito积分存在，且)(aX与)(tW,at相互独立（1）这时称(1)式定义的随机过程有(Ito)随机微分)(tX)()()(tdWtBdttA并记为)()()()(tdWtBdttAtdX首页例2求随机微分解由例１可知))((2tWd)()(0tWdtWtttW21)(212即ttW)(2)()(20tWdtWt由随机微分的定义)()(2))((2tdWtWdttWd首页定理3Ito公式的二次微分函数，则设))(,(tXtf是关于t和随机过程｛)(tX,Tt｝若)(tX的随机微分是)()()()(tdWtBdttAtdX))(,()(tXtftY在Ｔ上也有随机微分，且)())(,())(,([)(tAtXtftXtftdYXtdttBtXtfXX)]())(,(212)()())(,(tdWtBtXtfX首页例3求随机微分解设因为所以由Ito公式得))((2ttWd)())(,(2ttWtXtf)()(10)(tdWtdWdttdX))((2ttWddtttW])([2)()(2tdWttW)())(,(2tWtXtft)(2))(,(ttWtXtfXttXtfXX2))(,(首页定理4设普通函数),,,,(),(21mxxxtFxtF及其导数),,,,(),,,,(),(212100mmxxxtFtxxxtFxtF),,,,(),,,,(),(2121mimiixxxtFxxxxtFxtF),,,,(),,,,(),(21221mjimijijxxxtFxxxxxtFxtFmji,,1,都是连续函数．如果随机过程有随机微分)(tXi)()()()(tdWtBdttAtdXiii则))(,),(),(,())(,()(21tXtXtXtFtXtFtYm有随机微分首页miiitAtXtFtXtFtdY10)]())(,([))(,({)(dttBtBtXtFmjijiij1,)]}()())(,([21)(})]())(,([{1tdWtBtXtFmiii注是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，称为Ito公式首页四、Ito随机微分方程则在Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程称为Ito随机微分方程设｛)(tW,Tt｝是布朗运动，00)()())(,())(,()(XtXtdWtXtgdttXtftdX与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程ttttsdWsXsgdssXsfXtX00)())(,())(,()(0其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是Ito积分首页例4考虑Ito方程1)0()()()(21)(XtdWtXdttXtdX取xxtfln),(由Ito公式得))(,(tXtdfdttXtXtXtX)()(121)()21()(122)()()(1tdWtXtX即)())((lntdWdttXd所以)()(lntWttX即)}(exp{)(tWttX注将看作普通函数，则解为)(tW)}(21exp{)(tWttX返回首页第三节Ito积分的特征资产价格理论意义下Ito积分tTtdWtS),(0其中在信息集下是非预期的),(tSt一、Ito积分是鞅在间隔内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为uttudWtI则此Ito积分就是鞅。因为首页给定时间t的信息集，如果每个增量是不可预测的，则这些增量的总和也是不可预测的，即于是故Ito积分是鞅。0ttuutdWEtuusdWE0stsuuuusdWdWE0suudW0][][0stsuusuusdWEdWEts0utudW0首页下面考虑两种有意思的情况：1．第一种情况假设方差),(tSt是独立于资产价格tS和时间t的常数),(tSt此时Ito积分就等同于Riemann积分即有ttttuWWdW则tuttuudWdWdWE000即积分是鞅首页因为维纳过程的增量具有0均值且是非相关的，ttuudWdWE00故此积分是鞅0000)()(0WWttudW0注当是常数时，Riemann和Ito积分是相同的且都是鞅),(tSt首页2．第二种情况若此时Ito积分就不同于Riemann积分。Ito积分将保持鞅特性，而Riemman将不再具有鞅特性。例如如果衍生产品的标的资产具有几何分布，其方差与tS有关，进而也与tW有关，ttStS),(则可表明Ito积分就不同于Riemann积分。用Riemann求和来大致估计Ito积分会导致自相矛盾，方法具体过程如下例：首页3．一个例子其中偏移量和方差率分别为假设资产价格满足随机微分方程即两个参数都比例于资产价格考虑一个小时间间隔，对随机微分方程积分ttttdWtSdttSadS),(),(ttStSa),(ttStS),(tSuttuttuttudWSduSdS现在用R