随机试验与随机事件

概率论篇第一章随机事件与概率第二章随机变量及其分布第三章随机变量的数字特征第四章大数定律与中心极限定理第一章随机事件与概率随机试验与随机事件频率与概率等可能概型、几何概率概率空间*条件概率事件的独立性综合练习基本要求1．理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。2．理解事件频率的概念，了解概率的统计定义，理解概率的公理化定义。3．理解概率的古典定义及计算简单古典概率、了解几何概率。4．掌握概率的基本性质，并熟练应用。5．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式，会用这些公式进行概率的计算。6．理解事件的独立性的概念，会用事件的独立性进行乘积事件的概率计算。重点与难点重点1．随机事件及事件间的运算关系。2．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用.3．乘法定理及条件概率公式。4．事件的独立性及其应用。难点1．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用。2．古典概率的计算及条件概率、全概率公式和贝叶斯(bayes)公式的应用。随机试验随机事件样本空间集与事件及其运算事件之间的关系及运算§1.1随机试验与随机事件RandomExperimentsandRandomEventsSampleSpace一.随机试验：1E掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况。：2E一射手射击，直到击中为止，观察射击情况；：3E从一批灯泡中任意抽取一只，测其寿命。（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。具有以上三个特征的试验叫做随机试验。简称为试验，用记号E表示。RandomExperiments二.随机事件随机试验中的每一个可能结果称为随机事件（简称为事件），常用大写字母CBA，，等表示。RandomEvents例投掷一枚骰子，观察可能出现的点数1.事件A：出现的点数为奇数2.事件B：出现的点数小于4；3.事件1e:出现1点4.事件ie:出现的点数为i(i=2,3,4,5,6)当事件,1e5e3e}.{531,e,eeA或发生时，A发生，即1e：H2e:T投掷两枚硬币的基本事件:1e:HH2e:HT3e:TH4e:TT基本事件：不可能再分的事件；复合事件：由基本事件复合而成的事件。必然事件:一定发生的事件,记作。不可能事件:一定不发生的事件,记作。事件分类投掷一枚硬币的基本事件:投掷一枚骰子的基本事件和复合事件事件ie和事件A：出现的点数为奇数需要指出的是无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。随机事件。不可能事件：记为；必然事件：记为特殊事件等；、复合事件：记为；基本事件：记为BAe三.样本空间SampleSpace样本空间:由试验所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用符号表示，中的每个元素称为样本点。基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件Exp1-1将一枚硬币连掷两次，写出这一随机试验的样本空间。SOL：记正面为H,反面为T,为样本空间，则={TTTHHTHH，，，}}{ˆ4321eeee，，，Exp1-2记录某电话交换台在一分钟内收到的呼叫次数，写出样本空间。SOL：Exp1-3在一批灯泡中任取一只测其寿命，样本空间为=Rttt,0|，而寿命小于5小时为一随机事件，可表示为A=50|tt。={0，1，2，3,}SolutionExp1-4向某一目标射击一发炮弹，观察落点的分布情况，写出这一随机试验的样本空间。SOL：假定平面上已建立了坐标系，目标所在区域记为G，则样本空间=Gyxyx），（），（|。需要指出的是：样本空间中的样本点是由试验目的所决定的。（1）将一骰子连续抛掷3次，观察出现的点数之和，={1843，，，}；（2）将一骰子连续抛掷3次，观察六点出现的次数，={3210，，，}。以上两例，同是抛掷一颗骰子3次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。22§1.1Aim四、集与事件及其运算所谓集合是指具有某种性质，并可以互相区别的事物（或元素）组成的总体简称集，常以大写字母AB，，,C等表示，组成集合的元素常以或,,21等表示。为了明确元素所具有的性质，常以}|{具有的性质表示某一集合。不含任何元素的集合称为空集，常以表示。规定以后讨论的集合永远是某一给定集合Ω的子集合，称这一集合Ω为全体元素组成的空间，Ω本身和空集可看作Ω的子集。设A是Ω的一个子集，若是A的元素，则可记为A，读作属于A。若不是A的元素，则可记为A，读作不属于A。1、包含与相等关系：记作AB（若集A的元素均属于集B）；若AB与AB同时成立，则称A等于B，记作AB。2、和与交：称}{BABA或为集A与集B的和，显然BAA；BAB；称}{BABA同时为集A与集B的交，显然ABA，BBA。一般简记BA为AB。若AB，称A与B不相交；若AB，称BA为直和，记作BA。类似的可定义任意有限个、可列无穷个和任意无穷多个集的和与交。设T为一指标集，对每一个指标Tt，有一个Ω的子集tA与之对应，定义所有tA，Tt之和集，交集为},|{成立对至少一个TtAAAttTtt},|{同时成立TtAAtTtt显然，TsTttsAATttsAA3、差与余：称AB}|{BA同时为集A与集B的差，表示由所有属于A但不属于B的元素构成的集合。若A为空间Ω，称ΩB为B的余，记为B，表示Ω中所有不属于B的元素构成的集合，即}|{BB显然，集A与集B互为余集AB，ΩBA。4、性质（1）AA；（2）BABA；（3）TttTttAA；TttTttAA；（4）BABA；ABABA注：（3）一般称为对偶律，常用公式为BABABABA6、单调集列若集列}1,{nAn具有性质：对每个1n，1nnAA（或1nnAA），则称}1,{nAn不减的（不增的），统称为单调集列。五.事件及其运算关系若记：样本空间，：不可能事件，e：基本事件，BA，，nAAA，，，21为随机事件。则有事件之间的运算关系如下：（1）包含关系：记作BA，（2）相等关系：记作BA，即BA且AB；（3）和事件：记作BA，有限个事件和事件记作niinAAAA121ˆ无限个事件和事件记作121ˆiinAAAAAorBorboth（4）积事件：记作BA(简记为AB），有限个事件的积事件记作niinAAAA121ˆ无限多个事件的积事件记作121ˆiinAAAA（5）对立事件（余事件）：事件B的对立事件记作B，表示事件B不发生；（6）差事件：事件A与事件B的差事件记作BA，表示事件A发生而事件B不发生；BothAandBComplementBABA（7）互不相容（互斥）：若AB，则称事件A与事件B互不相容；若)21(，，、，jiAAjiji，则称nAAA，，，21为两两互不相容的。（8）若AB且BA，则称事件A与事件B互逆，即A=B，B=A。（9）摩根定理（对偶原理）：BABABABA（10）运算规律(交换律，结合律，分配律)参照集合的运算MutuallyexclusiveExp1-5上例1-1讨论续：记1A表示：“第一次出现正面”，即211ˆ}{eeHTHHA，2A表示：“两次出现同一面”，即412ˆ}{eeTTHHA，3A表示：“只出现一次正面”，即323ˆ}{eeTHHTA，则}{21TTHTHHAA，，；}{21HHAA1e；21AA=21AA=2e；由于32AA，故2A与3A互不相容，又由于32AA，所以2A与3A互逆。结论：两事件互逆必互不相容，反之不然。需要指出的是：熟练掌握事件间的运算关系是正确计算随机事件的概率之基础。在研究实际问题时，往往需要考虑试验结果中各种可能的事件，而这些事件通常是相互关联的。研究事件之间的关系，进而研究这些事件的概率之间的关系，就能够利用简单事件的概率去推算较复杂事件的概率。因此应当善于把某些复杂事件表示为若干个简单事件的和或积。要实现这一点，除正确理解事件间关系及运算外，还必须对具体问题进行具体分析。