第六章 狭义相对论基础

第六章狭义相对论基础6.1伽利略相对性原理(力学相对性原理)6.1.1伽利略相对性原理一切作机械运动的惯性参照系都是等效的。6.1.2伽利略变换设S和S′均为惯性系,S′相对于S以速度v沿x轴正向运动。vtv′xx′yy′zz′oor′rPzyx,,zyx,,SS'则或上两组公式为伽利略变换公式。将伽利略公式对时间求导，得上两组公式为伽利略速度变换公式。z=z't=t'x=x'+vt'y=y'z'=zt'=tx'=x－vty'=yvuuvuuxxyyuuzzuuvuuvuuxxyyuuzzuuaa将伽利略公式对时间求二阶导数，得2222tdxddtxd2222tdyddtyd2222tdzddtzd结论：同一物体的加速度在不同惯性系中的测量结果是相同的。经典力学中有，即，mmamam且认为不同惯性系中对同一力的测量结果也是相同的FFamF所以，若在S系amF则在S′系即牛顿第二定律在伽利略变换下形式不变。力学定律在伽利略变换下形式不变。推广sdtDjcldH414sdtBcldE16.2狭义相对论的基本原理(2)光速不变原理在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率具有相同的值，与光源和观测者的运动无关。/(1)相对性原理物理定律在所有的惯性系中都具有相同的形式，即所有的惯性系对物理定律都是等价的。6.3相对论时空观的讨论（1）同时的相对性os后门前门Vos“同时”的相对性的动画演示。（2）时钟推迟MlosV在S′系中,发出光脉冲和接收光脉冲是两个同地异时事件，时间间隔为cltt212（1）tcOMtVODlMD222DMODOM于是22222ltVtc在系中，由光速不变原理，有s则2222Vclt21cltcVltco1tDx2tMs而clttt2112212与比较,得(1)式两个事件所经历的时间间隔是相对的，在同一地点相继发生的两个事件的惯性系中所测得的时间间隔最短。212121tttt（2）钟慢效应的动画演示。olM图3o)(21ttV（3）长度缩短（尺缩效应）olVM图1cltt212(3)入射段：11tctVlVclt1反射段：22tctVlVclt2olM图2o1tV22112clVclVclttt（4）由,得(2)式21tt于是有221212clcl得21ll（5）空间间隔（或称物体长度）是相对的,和物体一起运动的惯性系中测得的长度最长,而与物体相对运动的惯性系中测得的长度就短些,即运动物体沿其运动方向的长度变短了。尺缩效应动画6.4洛仑兹变换相对论时空观的再讨论两个惯性系S和S′,因二者只沿x方向有相对运动,所以.P),,(zyxVxx′yy′zz′oo′Vt),,(zyx.Ayyzz从S'系看，从S系看xAO21xAO6.4.1洛仑兹变换另外，从S系看VtxxOA21有21Vtxx（1）但从S'系看21xOAtVxtVOAx21带入（1）式，有tVxVtx22112221cVcVxtt（2）,112γcV式中洛仑兹变换)()(2cVxttzzyyVtxxγγ(3)（3）式的逆变换)()(2cxVttzzyytVxxγγ（4）（1）同时的相对性6.4.2相对论时空观的再讨论VSSOOaMbllxx),(11tx),(22tx),(11tx),(22tx注意：21β1γ必有：cV狭义相对论认为，任何物体的速度不能超过真空中的光速。在S'系看12ttlxx212在S系看，由洛仑兹变换2221111cVcxVtt2222221cVcxVtt1221221211xxcVtttt（5）1933221212lcVtt12tt（6）若两个事件在某一系为同时异地事件，那么由洛仑兹变换知，在其它系中这两个事件就一定不是同时事件，这就是同时的相对性。（2）运动时钟的推迟S'系：111,txP222,txP21xxS系：111,txP222,txP由,得(5)式122122122121111ttxxcVtttt(7)1212tttt两事件的时间间隔是相对的，以发生在同一地点的惯性系内测得的为最短。（3）物体在运动方向上长度的缩短VSSOOabxx),(aatx),(bbtx),(aatx),(bbtx由洛仑兹变换21aaaVtxx221aaaxcVtt21bbbVtxx221bbbxcVtt0)(1122baabxxcVtt21ababxxxx（8）由（8）式，得21oll物体长度是相对的，在相对于物体静止的惯性系中所测得的长度最长。olabxxlxxab例1在S系中的X轴上相隔为Δx处有两只同步的钟A和B，读数相同，在S′系的X′轴上也有一只同样的钟A′，若S′系相对于S系的运动速度为v，沿X轴方向，且当A′与A相遇时，刚好两钟的读数均为零。那么，当A′钟与B钟相遇时，在S系中B钟的读数是多少？此时在S′系中A′钟的读数是多少？解：在S系中B钟的读数是：)ΔΔ(2xcxγvv221Δcxvvt2′(=t2′–t1′)=Δt′t2(=t2–t1)=Δt=vxΔ在S′系中A′钟的读数是：)(2xctγv-2βγ116.4.3洛仑兹速度变换s系：)(tVxx)(2cxVtt)(tVdxddx)(2cxVdtddtxdcVtdtVdxddtdx2dtdxvtdxdvssooVvxx),(txPvcVVvv21（10）vcVVvv21（11）当，cv则，反之亦然。cv说明光在任何惯性系中的速度都是C。s系：dtdxvxdtdyvydtdzvzs系：tdxdvxtdydvytdzdvz)(tVdxddx)(2xdcVtddtyddyzddz211洛仑兹速度变换法则●时,上式即变为伽利略速度变换式。cvv、、VxxxvcVVvv21xyyvcVvv21xzzvcVvv21xxxvcVVvv21xyyvcVvv21xzzvcVvv21例2在地面上测到两个飞船a、b分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相反的方向飞行。求飞船a相对于飞船b的速度有多大。yx0.9c0.9cabyx解:选飞船b为系，地面为参考系,则飞船a相对于系的速度按题意为。由速度变换法则可求得飞船a对系的速度、亦即相对于飞船b的速度。sssscvx9.0如用伽里略速度变换进行计算，结果为：ccccvvxx8.19.09.0ccccvcVVvvxxx994.081.180.19.09.019.09.012s系相对于s系的运动速度cV9.0相对论给出c。按相对论速度变换，在V和都小于c的情况下，不可能大于c。xvxvxv例3甲乙两人所乘飞行器沿x轴作相对运动。甲测得两个事件的时空坐标为x1=6104m,y1=z1=0,t1=210-4s;x2=12104m，y2=z2=0，t2=110-4s。如果乙测得这两个事件同时发生于t′时刻，问:(1)乙相对于甲的运动速度是多少？(2)乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？xctβt2211v解(1)设甲为S系,乙为S'系,乙对甲的运动速度为v，由洛仑兹变换可知乙所测得的这两个事件的时间间隔是212212121βxxcttttv22442441)1061012()102101(0ccvv按题意，代入已知数据，有012tt由此解得2cv由洛仑兹变换txβxv211可知乙测得的这两个事件的空间间隔是m1020.5142121212βttxxxxv6.4.4因果性问题1221221211xxcVtttt设，如果要求，条件是012tt012tt12122ttxxcV即112122ttxxcV但m不是恒量，m=m(v)，即。vvmP)(6.5相对论动力学基础6.5.1相对论质量和动量的定义在相对论中，动量仍定义为，vmPssooxxivivABivxxxvcVVvv21据速度变换公式vVvvxvvx有B在s系中的速率为2212cvvv（1）imivmivMAB0（2）质量守恒BAmmM2212cvvmvmmBBA（3）222211cvcvmmAB（4）22211cvvcv（5）整理，得(1)式（5）式代入（4）式消去得v221cvmmAB（6）mmA静止质量,mmB相对论质量0cv/1mm0221cvmm关系曲线◆在不同的参照系中m不同。◆221cvvmvmp◆dtdmvamdtdmvdtvdmdtpdF当，，cvmmamF当，，说明光速是物体运动速度的极限。cvm◆当v＜＜c时，mmo。≈6.5.2相对论中的能量rFEkddtvFd)d(vmvmvvvmvdd质点在外力作用下，由静止开始运动到速率为v时，动能的增量等于外力所做的功。vvvvvvvd)d(21)d(21d2因为mvvmvEkddd2所以将式取全微分，得：221cvmm)1(d1dd2222/3222cvcvmvcvcvvmm整理mvvvmEkddd2代入式mcd244222/12283211)1(cvcvcv◆v＜＜c时,221vmEk所以11122222cvcmcmmcEk上式为物体以速率运动时的相对论动能。v定义：质点的总能量2mcE质点的静止能量2cmE例4一物体的动能是静止能量的n倍，问相对论质量是静止质量的几倍？解：ncmcmmc2221nmm6.5.3能量与动量的关系由22cv1vmp,222cv1cmE2222cpEE两式平方，联立消去v，可得注意：对于光子:v=c,静止质量为零,E=pc。222cmpcE即得质点的总能量与动量的关系E2cmpc其他静止质量为零的粒子有中微子、引力子。光子的(运动)质量，2cEm动量，cEP6.5.4质能关系式总能量E=mc2——质能关系式常量2cmEiiii常量iim相对论把能量守恒和质量守恒这两条自然规律完全统一起来了。几个粒子在相互作用过程中，能量关系为：就一个粒子来说，如果由于自身内部的过程使它的能量减小了，它静止质量也将相应地减小。——爱因斯坦语反应前后