多自由度系统的动力学方程

矩阵形式：DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212存在惯性耦合存在弹性耦合多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？212122112122110000PPxxkkxxmm即：若能够，则有：1111111Pxkxm2222222Pxkxm方程解耦，变成了两个单自由度问题使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el1l2lk1k2选取D点的垂直位移及角位移作为坐标DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标CCCCCCCMPxakakakakakakkkxIm222211112211222100多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212CCCCCCCMPxakakakakakakkkxIm222211112211222100令：DDDDDFXKXMDDDDDDMPxFX,令：CCCCCCMPxFX,CCCCCFXKXM多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程D点和C点的坐标之间的关系：DDDDDFXKXMTDDDx],[X写成矩阵形式：CCCCCFXKXMTCCCx],[XTDDDMP],[FTCCCMP],[FDDCexxDCCDTXX101eT坐标变换矩阵eDCCDCxDxDCDPDPDPDMCPCMCDCF和的关系DF在C点加一对大小相等、方向相反的力DPDCPP得：DDCMePM写成矩阵形式：DTCFTFT非奇异，因此：CTDFTF1)(多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程DDDDDFXKXMTDDDx],[XCCCCCFXKXMTCCCx],[XTDDDMP],[FTCCCMP],[FCDTXX101eT得：验证：DTCFTFCTDFTF1)(将代入D点的方程，并左乘：TTCDTXXCDTCDTCDTFFTTXKTXTMTCDTMTMTCDTKTKT2meImememCDMCCIm00MCCImemeImememe001011012多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X和Y有如下的变换关系：TYX其中T是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：PKXXM那么在坐标Y下的运动微分方程为：PTKTYTYMTTTTT如果恰巧Y是主坐标：MTTTKTTT对角阵这样的T是否存在？如何寻找？多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程•多自由度系统的自由振动•固有频率•模态•模态的正交性•主质量和主刚度•模态叠加法•模态截断法多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动•多自由度系统的固有频率作用力方程：)(tPKXXMnRXnnRKM、nRt)(P固有振动方程：0KXXM在考虑系统的固有振动时，首先考察系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。假设系统的运动为：)(tfφXnRX1)(Rtf运动规律的时间函数常数列向量nRφ多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动Tn][21φTnxxx][21X0KXXM)(tfφX代入，并左乘：Tφ0KM)()(tftfTTφφφφφφφφMKTTtftf)()(：常数M正定，K正定或半正定对于非零列向量：φ0φφMT0φφKT20令：对于半正定系统，有0对于正定系统必有02多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动nRXnRφ2)()(φφφφMKTTtftf0)()(2tftf0,)(0),sin()(battftatfa、b、为常数0KXXM)(tfφX正定系统0（1）正定系统只可能出现形如的同步运动)sin(taφX系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动（2）半正定系统半正定系统0可能出现形如的同步运动)sin(taφX也可能出现形如的同步运动)(batφX（不发生弹性变形）主振动首先讨论正定系统的主振动M正定，K正定0主振动：)sin(taφX正定系统：0KXXMnRX将常数a并入中φ)sin(tφXTn][21φ代入振动方程：0)(2φMK多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零φ0MK2特征方程0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk021)1(212nnnnaaa解出n个值，按升序排列为：222210ni：第i阶固有频率频率方程或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数1：基频多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率)(tFPXXFM位移方程：nRX1KF柔度矩阵0XXFM自由振动的位移方程：主振动：)sin(tφXTn][21φ代入，得：0IFMφ)(特征值2/1？解释：0)(2φMKφφMK2φφMKI1210)1(2φIFM2/1多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率)(tFPXXFM位移方程：nRX1KF柔度矩阵0XXFM自由振动的位移方程：主振动：)sin(tφXTn][21φ代入，得：0IFMφ)(特征值2/1特征方程：0IFM特征根按降序排列：021n2/1ii多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2φMK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/.73212mk/23m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动•多自由度系统的模态（主振型）正定系统：0主振动：)sin(taφX0KXXMnRXnnRKM、nRφ0MKφ)(2特征值问题：特征值φ特征向量n自由度系统：（固有频率）（模态）i)(iφ一一对应ni~11)()(1)(niniiRφ0MK)(2)(iiφ)(iiφ、代入，有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动0MK)(2)(iiφTinii][)()(1)(φ当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个是不独立的i设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端)(iφ)(in)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()()()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的)(in)(1)(2)(1inii，，，)(iφ否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动为使计算简单，令：1)(inTiniii1)(1)(2)(1)(φ则有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动0MK)(2)(iiφTinii][)()(1)(φ当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个不独立i设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端)(iφ)(in)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()()()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2φMK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/.73212mk/232kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动0310121013321113243以为例进行说明11将代入，有：110210111012321020023232121由第三个方程，得：235.005.0221代入第二个方程：0221与第一个方程相同方程组中有一式不独立例如，将第三个方程去掉321210203121112因此若令131122可解出多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动整理0MK)(2)(iiφTinii][)()(1)(φ)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()()()()(innninninnninni