第五节 控制系统灵敏度分析

第五节控制系统灵敏度分析控制系统在参数变化时的灵敏度是一个非常重要的概念。在开环系统中，所有的变化都会导致系统的输出产生偏差，并且系统自身没有能力消除这一偏差，这是由于开环系统没有反馈的缘故。但是，闭环系统能够察觉到输出所产生的偏差，并试图修正输出，这正是闭环反馈控制系统的一个主要好处，就是具有减少系统灵敏度的能力。对于闭环系统的情况，如果在所关心的复数域内，都有：(3.71)成立，则可得到：(3.72)那么，输出仅受到H(s)的影响，而且H(s)有可能是一个常数。如果H(s)=1，得到的结果正是期望的输入值，那就是，输出等于输入。但是，在对闭环控制系统应用式(3.72)这样一个近似之前，必须注意式(3.71)这一前提条件，可能会导致系统的响应为剧烈振荡，甚至于不稳定。尽管如此，增加开环传递函数G(s)H(s)的大小会导致G(s)对输出影响减少的事实是一个极有用的概念。因此，反馈控制系统的最重要优势就是被控过程参数G(s)变化的影响被减少了。()()()1()()CsGsRsGsHs|G(s)H(s)|11()()()CsRsHs为描述参数变化的影响，假设被控过程G(s)发生变化，新被控过程就是G(s)+ΔG(s)。那么，在开环情况下，输出的变化为(3.73)在闭环系统中，有(3.74)考虑到,则输出的改变就是：(3.75)通常情况下，有G(s)H(s)ΔG(s)H(s)，于是：(3.76)ΔC(s)=ΔG(s)R(s)()()()()()1[()()]()GsGsCsCsRsGsGsHs()()()1()()GsCsRsGsHs()()()[1()()()()][1()()]GsCsRsGsHsGsHsGsHs2()()()[1()()]GsCsRsGsHs观察式(3.76)可以看出，由于[1+G(s)H(s)]在所关心的复数域范围内常常远大于1，因此闭环系统输出的变化减少了。因子[1+G(s)H(s)]在反馈控制系统的特征中起到了非常重要的作用。系统灵敏度定义为系统传递函数的变化率与被控过程传递函数变化率的比值。如果系统传递函数为则，灵敏度定义为(3.77)取微小增量的极限形式，则式(3.77)成为(3.78)GB(s)=C(s)/R(s)()/()()()()/()()()BBBBGsGsGsGsSGsGsGsGs()()()()BBGsGsSGsGs很明显，从式(3.73)可以看出，开环系统的灵敏度等于1。闭环系统灵敏度可以从式(3.78)容易得到。设闭环系统的系统传递函数为因此反馈系统关于G(s)的灵敏度为即(3.79)()()1()()BGsGsGsHs2()()()()1()[1()()]()/[1()()]BGBGsGsSGsGsGsGsHsGsGsHs11()()GSGsHs再次可以看到，在所关心的复数域范围内GH(s)增加时，闭环系统的灵敏度将会低于开环系统的灵敏度。同样道理，可以考察闭环系统对反馈环节H(s)改变时的系统灵敏度，令(3.80)即(3.81)当G(s)H(s)很大时，灵敏度约为1，也就是H(s)的变化将直接影响到系统的输出。因此，使用不随环境改变或基本恒定的反馈器件是很重要的。由此可见，控制系统引入反馈环节后能减少因参数变化而造成的影响，尤其是因被控过程参数变化所造成的影响，这是反馈控制系统的一个重要优点。()()()()BHBGsHsSHsGs()()1()()HGsHsSGsHs下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算放大器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器件，它的基本应用电路是图3-36（a）所示的反相放大器电路。通常，运算放大器的增益A远大于104。由于输入阻抗很高，所以运算放大器的输入电流可以忽略不计，因此在节点n，可写出电流关系式如下(3.82)由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc=-Aun，因此(3.83)将(3.83)代入(3.82)，得到(3.84)10rncnfuuuuRRcnuuA110cccrffuuuuRARRAR解出输出电压uc，有(3.85)可重写式(3.85)如下11(/)1(/)fcrfARRuuRRA(a)电路原理图(b)结构图图3-36反相放大器11()()()1/(/)cBrffUsAGsUsRRARR当A1时，可忽略R1/Rf项，则(3.86)其中，k=R1/Rf。反相放大器电路结构图如图3-36（b），图中反馈环节是H(s)=k，前向通道的传递函数是G(s)=-A。进一步，当A1时，反相放大器电路的传递函数为(3.87)当运算放大器处于开环状态（即无反馈电阻Rf）时，相对于增益A的开环灵敏度为1。在闭环时，相对于增益A的闭环灵敏度为(3.88)()1BAGsAk11()fBRGskR()1()1BABGsASAGsAk如果A=104而且k=0.1，有(3.89)则灵敏度接近于0.001，是开环灵敏度的千分之一。再来考虑闭环时相对于因子k（或者反馈电阻Rf）的灵敏度。处理方法同上，得(3.90)相对于k的闭环灵敏度接近于1。31110AS()()1BkBGskAkSkGsAk第六节应用MATLAB分析控制系统的性能这一节将用两个例子描述反馈控制的优点，同时说明如何利用MATLAB来分析控制系统。系统分析的主要内容包括如何抑制干扰、如何减小稳态误差、如何调节瞬态响应以及如何减少系统对参数变化的影响等。第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动机。开环系统结构图如图3-37(a)所示，为了改善系统性能，加入速度反馈如图3-37(b)所示。系统的各元器件参数值在表3.6中给出。从图中可以看出，系统有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)两个输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考虑两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用，可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此时只有干扰ML(s)起作用。相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令ML(s)=0。如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号ML(s)对输出w(s)的影响就应该很小，下面就来验证此结论。参数名RaKmJBKeKaKs参数值11020.50.1541图3-37速度控制系统结构图首先，考虑图3-37(a)所示的开环系统，从ML(s)到wo(s)(此处的下标“o”表示开环)的传递函数为假设干扰信号为单位阶跃信号，即ML(s)=1/s。利用MATLAB可以计算系统的单位阶跃响应如图3-38(a)所示，而用于分析此开环控制系统的MATLAB程序文本opentach.m示于图3-38(b)。在输入信号Ua(s)=0的情况下，稳态误差就是干扰响应wo(t)的终值。在图3-38(a)的曲线中，干扰响应wo(t)在t=7秒后已近似不变，所以近似稳态误差值为wo(∞)≈-0.663(弧度/秒)()1()21.5LsMsswonumden同样，通过计算从ML(s)到wc(s)(此处下标“c”表示闭环)的闭环传递函数可分析图3-37(b)所示闭环系统的抗干扰性能。对于干扰输入的闭环传递函数为()1()2541.5LsMsswcnumden(a)开环速度系统对阶跃干扰的响应曲线%开环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃应:opentach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;num1=[1];den1=[JB];num2=[Km*Ke/Ra];den2=[1];[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2);%干扰信号为负num=-num;printsys(num,den)%wo为输出,“o”表示开环[wo,x,t]=step(num,den);plot(t,wo)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid%显示稳态误差，即wo的最后一个值wo(length(t))闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线w(t)和MATLAB程序文本closedtach.m分别示于图3-39(a)(b)。同前，稳态误差就是w(t)的终值，稳态误差的近似值为在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输出响应的稳态值之比为可见通过引入负反馈已明显减小了干扰对输出的影响，这说明闭环反馈系统具有抑制噪声特性。()0.002(/w弧度秒）c()0.003()wwco(a)闭环系统对阶跃干扰的响应曲线(b)MATLAB程序文本:closetach.m图3-39闭环速度控制系统分析%闭环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃响应:closetach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1num1=[1];den1=[JB];num2=[Ka*Ks];den2=[1];num3=[Ke];den3=[1];num4=[Km/Ra];den4=[1];[numa,dena]=parallel(num2,den2,num3,den3);[numb,denb]=series(numa,dena,num4,den4);[num,den]=feedback(num1,den1,numb,denb);%干扰信号为负num=-num;printsys(num,den)%wc为输出,“c”表示闭环[wc,x,t]=step(num,den);plot(t,wc)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid%显示稳态误差，即wc的最后一个值wc(length(t))第二个例子是分析闭环控制系统的控制器增益K对瞬态响应的影响。图3-40是闭环控制系统的结构图。在参考输入R(s)和干扰输入N(s)同时作用下系统的输出为22111()()()1212KsCsRsNsssKssK图3-40反馈控制系统的结构图如果单纯考虑增益K对参考输入产生的瞬态响应的影响，可以预计增加K将导致超调量增加、调整时间减少和响应速度提高。在增益K=20和K=100时，系统对参考输入的单位阶跃响应曲线以及相应的MATLAB程序文本gain_kr.m示于图3-41。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正确性。尽管在图中不能明显看出增大K能减少调整时间，但是这一点可以通过观察MATLAB程序的运行数据得以验证。这个例子说明了控制器增益K是如何改变系统瞬态响应的。根据以上分析，选择K=20可能是一个比较好的方案。尽管如此，在做出最后决定之前还应该考虑其他因素。(a)阶跃响应曲线(b)MATLAB程文本:gain_kr.m图3-41单位阶跃输入的响应分析%K=20和K=100时，参考输入的单位阶跃响应：gain_kr.mnumg=[1];deng=[110];K1=100;K2=20;num1=[11K1];num2=[11K2];den=[01];%简化结构图[na,da]=series(num1,den,numg,deng);[nb,db]=series(num2,den,numg,deng);[numa,dena]=cloop(na,da);[numb,denb]=cloop(nb,db);%选择时间间隔t=[0:0.01:2.0];[c1,x,t]=step(numa,dena,t);[c2,x,t]=step(numb,denb,t);plot(t,c1,'--',t,c2)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cr(t)'),grid在对K做出最后选择之前，非常重要的是要研究系统对单位阶跃干扰的响应，有关结果和相应的MATLAB程序文本如图3-42所示。从中可以看到，增加K减少了单位干扰响应的幅值。对于K=20和K=100，响应的稳态值分别为0.05和0.01。对干扰输入的稳态值可按终值定理求得如果仅从抗干扰的角度考