§3.2边际分布与随机变量的独立性

二、离散型随机变量的边际分布列三、连续型随机变量的边际密度函数一、边际分布函数四、随机变量间的独立性§3.2边际分布与随机变量的独立性提出问题：上面研究了二维联合分布，是二维随机变量的整体性质，从中还要解决如下三个个体问题：①关于每个分量的分布，即边际分布.②两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、协方差和相关系数.③给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布.一、边际（缘）分布函数,},{),(yYxXPyxF},{)(xXPxF{}PXx{,}PXxY(,)Fx)(xFX.),(的边缘分布函数关于XYX?,,),(:的分布如何确定的分布已知YXYX问题()(),(,)().Fx,yX,YFxX,XY设为随机变量的分布函数称关于的边际为随变量数机分布函()(,).XFxFx记为定义(){}{,}(,).XFxPXxPXxYFx即,lim()()(,)()yyyFx,yFx,PXxYPXx＋事实上，令由于为必然事件，故可得＝＝()(,)lim(,){,}{}YxFyFyFxyPXYyPYy,x类似地，令(,).YYX关于变量的边际分为机变量布函数随(,,)(,,)()(,,);()(,,);()(,,);XYZXYZFxyzFxFxFyFyFzFz三维随机变量的联合分布函数中，类似的方法可得下列边际分布函数：,,,(,)(,,);(,)(,,);(,)(,,).XYXZyZFxyFxyFxzFxzFyzFyz例1,)1eee,0,0;,)0,..xyxyxyXYxyFxyXY设（的联合分布函数为（此分布为）（其他求关于及关于的边际分二维指数分布函数布()lim(,)lim(1eee)1e,0;0,0.XyxyxyxyxyFxFxyxx解同样有1e,0()0,.，其他yYyFy()(1),()(1).0.XYFxExpFyExpXY是一维指数分布也是一维指数分布与二维指数分布的参数无关不同的参数对应不同的二维指数分布，但它们的两个边际分布不变.这说明，二维联合分布不仅含有每个分量的概率分布，而且还含有两个变量与间的关系.11(,){,},,1,2,.{},1,2,,{},1,2,,(1,2,)(1,2,)(,).ijijiijijjijjiijXYPXxYypijppPXxippPYyjpipjXYXY设二维离散型随机变量的联合分布律为记分别称和为关于和关于的边际分布列定义二、离散型随机变量的边际分布列1{},1,2,;iijjPXxpi1{},1,2,.jijiPYypjXY12jyyy12ixxx11121jppp21222jppp12iiijpppiP12ipppjP121jppp1()(,),iXijxxjFxFxp1()(,).jYijyyiFyFyp因此得离散型随机变量关于X和Y的边际分布函数分别为1,1,2,iiijjPPXxpiX关于的边际分布列：1,1,2,jjijipYPPYyj关于的边际分布列：例1已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910解1,1,2,.iiijjXPPXxpi关于的边际分布率：即对每一行求和XY1010}{iixXPp}{jjyYPp注意联合分布边缘分布7473174734916491249124991,1,2,jjijiYPPYypj关于的边际分布列：(,),(,),()(,)[(,)d]d,()(,)d,(,).xXXXYfxyFxFxfxyyxfxxyYXfyX对于连续型随机变量设它的概率密度关于为由于的边记称际概其为随机变率密度量定义三、连续型随机变量的边际密度函数同理可得Y的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY的边缘概率密度.,dd),(),()(yYyxyxfyFyF.)(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其他具有联合概率密度和设随机变量解yyxfxfXd),()(,10时当xyyxfxfXd),()(xxy2d6例2xy2xyOxy)1,1(1,10时或当xx.0d),()(yyxfxfX).(62xx.,0,10),(6)(2其他因而得xxxxfXxy2xyOxy)1,1(1,10时当yxyxfyfYd),()(,10时或当yy.0d),()(xyxfyfY.,0,10),(6)(其他得yyyyfYyyxd6).(6yyxy2xyOxy)1,1(11的概率密度为设二维随机变量),(YX2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.的边缘概率密度试求二维正态随机变量,,yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中例3解,d),()(yyxfxfX由于21212222))((2)(σσμyμxρσμy,)(2121221122σμxρσμxρσμy于是edπ212221212121()122(1)21()e,21Xxμxμyμρσσσρfxyσσ,1111222σμxρσμyρt令则有,deeπ21)(22)(122121tσxftσμxX.,eπ21)(21212)(1xσxfσμxX即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.ρ并且都不依赖于参数.,eπ21)(22222)(2yσyfσμxY多项分布的边际分布仍是多项分布.仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明.解例412312,)~(,,,)~(,),~(,).XYMnpppXbnpYbnp已知（，证明1212!,(1),!!()!ijnijnPXiYjppppijnij上式右边分别乘以和除以两边对从到求和，并记则可得：1221(1)0()!,1,nipjninippp121120011!(,)!(1)!((1)()!()!(!1)))(1ijn-inijn-ijnnijijjnPXiYjpipppjnijpninipp＝＝2211011!()!(1)()(1)!()!!()!11n-iinijnijjppnnippinijnijpp＝2211011!(1)()(1)!()!11n-iinijjnijnijppnppCinipp＝1212!(1)[)!1)!((]ininipnppinip11!(1)!()!ininppini11(1).iininCpp111()(1),~(,);iininPXiCppXbnp即2~(,).Ybnp同理可证作业：习题3.2：1.3.5.习题3.2：1.3.5(1)(2).二版：.),()(),(},{}{},{,.),()(),(),(的相互独立是和则称随机变量即有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变及　　设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX1.二维随机变量的相互独立性定义四、随机变量间的独立性相互独立和YX说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为ijPXiYjpij{,},,1,2.},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP.12.ijiji,j=p,ppXYfXgY(3),()().和相互独立则和也相互独立相互独立和YX则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()2(yfxfyxfYXYX()()(,).XYfx,yfxfyxy例1\23410.020.060.1230.080.240.48?XYXYXYXY设随机变量和的联合分布律为求关于、的边缘分布问和是否相互独立，解1121{2}0.020.080.1,PYpp1222{3}0.060.240.3,PYpp\23410.020.060.1230.080.24{}{}0.10.30.0.480.20.168PXiXYXYPYj关于、的边缘分布律为1323{4}0.120.480.6,PYpp111213{1}0.020.060120.2,PXppp.212223{3}0.080.240480.8PXppp.{1,3}0.06{1}{3},PXYPXPY{3,3}0.24{3}{3},PXYPXPY{1,4}0.12{1}{4},PXYPXPY{,}.{}{},3404834PXYPXPY.相互独立和故知YX{3,2,}0.08{3}{2},PXYPXPY{1,2}0.02{1}{2},PXYPXPY因为.),(,],[),,(,2的联合概率密度求上服从均匀分布在服从并且相互独立和设随机变量YXbbYσaNXYX;,eπ21)(222)(xσxfσaxX又)()(),(yfxfyxfYX所以解由于X与Y相互独立,例2.,0,,21)(其他bybbyfY,eπ2121),(222)(σaxσbyxf得.0),(,yxfby时当.,bybx其中xaσybxfxybσ22()211,,(,)220,.eπ；故其他因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.例3设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0.}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP}4{}1{}4,1{YPXPYXP4.03.0,12.0}2{}1{}2,1{YPXPYXP6.03.0,18.0}2{}3{}2,3{YPXPYXP6.07.0,42.0}4{}3{}4,3{YPXPYXP4.07.0.28.0的联合分布律为因此),(YXYX421318.012.042.028.0nnXXX12(,,,)维随机变量的联合分布函数为2.n维随机变量的的相互独立性nnniiinFxxxPXxXxXxFxXnxxx12112212(,,,){,,,},(),,,为的边际分布函数，如果对任意个实数，有nnnniiinFxxxFxFxFxFxXXX121122112(,,,)()()()(),,,则称相互独立.说明(1)若(X1,X2,…,Xn)为n维离散型随机变量，则11221,nnniiPXxXxXxPXx，，X1,X2,…,Xn相互独立，对于任意n个实数x1,x2,…,xn,有nniiiXXXfxxxXfxin1212(2)(,,,)(,,,),(),1,2,,设连续型随机变量的联合概率密度为