2019-2020学年新人教A版必修一-----5.2.1-三角函数的概念(一)---课件(47张)

5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念(一)1.三角函数的定义(坐标法)在锐角的终边上任取一点P(a,b),则r=|OP|=,根据锐角三角函数定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切.sinα=cosα=tanα=22abMPbOPr，OMaOPr，MPb.OMa【思考】(1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么?提示:如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则:sinB=cosB=tanB=bc，斜对边边ac，斜邻边边b.a对边邻边(2)对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗?提示:根据相似三角形的知识,只要点P不与原点重合,三角函数值不会随P点在终边上的位置的改变而改变.2.三角函数的定义(单位圆法)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),那么:sinα=y;cosα=x;tanα=(x≠0).yx【思考】(1)什么是单位圆?提示:单位圆是指圆心在原点,半径为单位长度的圆.(2)对确定的锐角α,sinα,cosα,tanα的值是否随P点的位置的改变而改变?提示:不会.三角函数也是函数,是以角为自变量,以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数;三角函数值只与角α的大小有关,即由角α的终边位置决定.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若sinα=sinβ,则α=β.()(2)设角α终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0,则sinα=,且y越大,sinα的值越大.()(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.()yr【解析】(1)×.由诱导公式sin(α+k·2π)=sinα(k∈Z)可知,当β=α+2kπ(k∈Z)时,sinα=sinβ.(2)×.由任意角的正弦函数的定义知,sinα=.但y变化时,sinα是定值.(3)×.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.yr2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα等于()【解析】选D.由题意可知x=-4,y=3,r=5,所以cosα=4334A.B.C.D.5555－－x4.r5＝－3.锐角α的终边交单位圆于点P,则sinα=______.【解析】由定义知cosα=.又α为锐角,所以α=60°,sinα=.答案:1(m)2，123232类型一单位圆法求三角函数值【典例】(1)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点和,那么sinαcosβ=()125()1313，34()55－，363448A.B.C.D.65131365－－(2)已知角α的终边经过点,则sinα=________,cosα=________,tanα=________.31(,)22－－【思维·引】(1)根据角α,β终边与单位圆的交点,分别求出sinα和cosβ,再求sinαcosβ.(2)根据点的坐标判断出点在单位圆上,根据公式sinα=y;cosα=x求出sinα,cosα即可.【解析】(1)选B.因为角α,β的终边与单位圆分别交于点和,故由定义知sinα=,cosβ=,所以sinαcosβ=125()1313，34()55－，51335533().13513－＝－(2)因为=1,所以点在单位圆上,由三角函数的定义知sinα=,cosα=,tanα=.答案:2231()()22－＋－31(,)22－－32－12－3312－32－33【内化·悟】已知角α与单位圆的交点,怎样求该角的三角函数值?提示:已知角与单位圆相交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=.yx【类题·通】单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.【习练·破】角α终边与单位圆相交于点M,则cosα+sinα的值为________.31()22，【解析】cosα=x=,sinα=y=,故cosα+sinα=.答案:312＋312＋3212【加练·固】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则tanα=________.23【解析】设点A的横坐标为x,则由=1,解得x=±,因为角α为第二象限角,所以x=,cosα=,24x9535353所以tanα=答案:2253.553255类型二坐标法求三角函数值【典例】1.已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sinα+cosα的值为________.2.已知角α的终边经过点P(5m,12),且cosα=,则m=________.世纪金榜导学号513－【思维·引】1.根据三角函数的概念(坐标法),求出P(a,b)到原点的距离为r=|OP|=(r0),再根据概念求出sinα,cosα的值,计算即可,计算时注意讨论a的正负.2.根据余弦函数的定义,求出m的值.22ab【解析】1.r==5|a|.①若a0,则r=5a,角α在第二象限,sinα=,cosα=所以2sinα+cosα==1.22(3a)(4a)－＋y4a4r5a5＝＝x3a3r5a5－＝＝－，8355－②若a0,则r=-5a,角α在第四象限,sinα=,cosα=所以2sinα+cosα==-1.综上所述,2sinα+cosα=±1.答案:±14a45a5＝－－3a35a5－＝，－8355－＋2.因为P(5m,12),所以r=所以cosα=所以所以m=-1.答案:-1222(5m)1225m144，2x5m5r1325m144，2m0m1，，【内化·悟】已知角α的终边上一点(含有参数)和某一三角函数值,求参数的值时,要特别注意什么问题?提示:运用三角函数的定义计算时,要特别注意题目给出的参数的符号.【类题·通】1.已知角α的终边上一点P(x,y),先计算r=|OP|=第二步,求值:由sinα=,cosα=,tanα=(x≠0)求值.在含有参数的问题时,要注意分类讨论思想的运用.22xy;＋yrxryx2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【习练·破】已知角α的终边过点P(12,a),且tanα=,求sinα+cosα的值.512【解析】根据三角函数的定义,tanα=所以a=5,所以P(12,5).这时r=13,所以sinα=,cosα=所以sinα+cosα=a51212＝，51312,1317.13类型三三角函数概念的综合应用【典例】已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sinα+的值.世纪金榜导学号3cos【思维·引】已知角α的终边在一条直线上,需要先讨论角的终边在直线的哪一部分,再在射线上任取异于原点的一点,再根据三角函数的概念求解.【解析】由题意知,cosα≠0.设角α的终边上任意一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=22k(3k)10|k|.＋－＝(1)当k0时,r=k,α是第四象限角,sinα=所以10sinα+=10×+=+=0.10y3k3101r10k10r10cosxk10k－＝＝，＝，3cos310()10310310310(2)当k0时,r=,α是第二象限角,sinα=所以10sinα+综上所述,10sinα+=0.10k－y3k3101r10k10r10cosxk10k－＝＝，＝＝＝－，－3310103(10)cos10＝＋－3103100.＝－＝3cos【内化·悟】已知角α的终边在某一条过原点的直线上时,三角函数值是否唯一?提示:已知角α的终边在某一条直线上时,因为直线分为向上、向下两种情况,所以三角函数值不唯一.【类题·通】在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的三角函数值分别为sinα=,cosα=,tanα=.22bab22aabba【习练·破】已知角α的终边在直线y=x上,求sinα,cosα,tanα的值.3【解析】因为角α的终边在直线y=x上,所以可设P(a,a)(a≠0)为角α终边上任意一点,则r==2|a|(a≠0).若a0,则α为第一象限角,r=2a,所以sinα=,cosα=,tanα=3322a(3a)3a32a2＝a12a2＝3a3.a＝若a0,则α为第三象限角,r=-2a,所以sinα=cosα=,tanα=3a32a2＝－，－a12a2＝－－3a3.a＝