最优化理论与最优控制

最优化理论与最优控制研究生学位课最优控制，顾名思义，就是最好的控制，好的标准是什么？在最优控制中用一个综合的目标函数或性能指标来衡量。最优控制：静态最优控制给定条件下，确定系统的一种动态最优控制最优控制规律，使系统相应的性能指标为最优。)(tu静态最优控制——最优化问题的解不随时间变化，通常又称为参数最优化问题。即：最优控制变量与时间t没关系或说在所研究的时间区域内为常数。目标函数：多元的普通函数。最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。)(tu静态最优化方法：a.解析法（间接法）无约束条件有约束条件黄金分割法（0.618法）b.数值计算法（直接法)区间消去法插值法（一维搜索）爬山法步长加速法（多维搜索法）方向加速法c.以梯度法为基础的方法d.网络最优化方法动态最优控制——最优化问题的解u（t）随时间变化特点：受控对象：动态系统所有变量：时间的函数最优解：古典变分法求泛函的极值问题a.动态最优控制绪论及最优控制问题的提法b.最优控制问题的变分法c.最小值原理及应用d.线性二次型最优控制问题e.动态规划及应用课程参考教材：1系统最优化及控制付曦著机械工业出版社电气自动化新丛书2最优控制理论及应用解学书著清华大学出版社第一章绪论最优控制属于现代控制技术的核心内容，是现代理论的一个研究热点和中心话题。现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为主要内容，最优控制发展早。20世纪60年代，现代控制理论才得以迅速发展。我国著名学者：钱学森1945年编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。世界上对控制理论发展有特殊贡献的学者：美国著名学者：贝尔曼（R.E.Bellman）:动态规划1953-1957原苏联著名学者：庞特里亚金：极小值原理1956-1958，之后控制论得以迅速发展，发展和促进了许多新的理论学科。最优化技术要解决的主要问题：研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案，其间包括以下任务1）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型。确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标）2）模型分析，选择合适的最优化求解方法。3）根据选定的最优化算法，编程，求解。最优化的基本问题：就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究的对象（或系统）能最优地达到预期的目标。例如：1温度控制系统，如果出现干扰而产生偏差，用什么方法最快消除偏差而使系统恢复到原来的平衡状态。2雷达高炮随动系统，当发现敌机后，如何以最快速度跟踪目标而将敌击落？3电梯控制：如何以最快速度平稳到达地面以上都涉及到：依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻求一个最优控制规律u（t）的问题，这就是最优控制的基本问题的发展过程。三、最优控制问题的发展过程：古典法50年代以前，自动控制系统设计有两种方法解析法这两种方法都是以传递函数为数学模型，来表征系统特征。在S域或Z域内用经典控制论进行设计，对简单的线性调节系统，方法有效。R（S）U（S）C（S）GC（S）G（S）一）古典法：（工程试操法）根据对象G（S），确定控制器GC（S），使系统满足各项性能指标，如：超调量，上升时间，增益裕度，相位裕度。缺点：系统设计不是最优的，所得结果不是唯一解。改进：解析法：力求使设计的系统按一定指标要求来达到最优，从这个意义上讲，解析法比古典法更前进一步。二）解析法：核心：目标函数为最小。设计目标：求相应得目标函数，使误差的平方积分值Je为小。即：02)(mindtteJe,从而确定控制器的传递函数。局限性：系统设计仅限于单变量系统，线性定常系统为控制对象，设计目标仅局限于使误差最小。50年代中期，随着最优控制在航空航天领域中的应用，使局限性有了突破——最优控制论设计系统。1）用状态空间法研究线性控制系统，提出了可控可观的概念。注意：若系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的2）动态规划法和最优化原理3）极大值原理总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是：在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最优控制，使目标函数为极大或极小。用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下：1）适用于多变量，非线性，时变系统的设计2）初始条件可任意3）可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况4）便于计算机求解2最优化问题的分类：1、无约束与有约束的最优化问题若系统控制变量的取值范围不受限制，则为无约束的最优化问题，反之为有约束的最优化问题。实际系统大多为有约束的最优化问题等式约束约束条件不等式约束2、确定性和随机性最优化问题确定性：每个变量的取值是确定的，可知的。随机性：某些变量的取值是不确定的，但可根据大量的数据统计，知道变量服从一定的概率分布。3、线性和非线性的最优化问题线性：目标函数和所有的约束条件式均为线性（即它们是变量的线性函数）称为线性最优化。非线性：目标函数或约束式中有一个是变量的非线性函数，称为非线性最优化。4、静态最优化和动态最优化:前面已论述。3最优控制中的数学模型建立数学模型是求解最优控制问题的第一步建模过程包括：确定变量（输入变量，输出变量，控制变量）列出约束条件建立目标函数数学模型表征了受控动态系统在运动过程中所遵循的物理或化学规律。状态变量控制变量通常又表征为（线性系统）线性时变系统线性时不变系统A(t)，B(t)：时变矩阵A，B：定常矩阵1）数学模型的表征：状态方程表达式：][,0fttt)()()()(tutBtxtAx)()(tButAxx)),(),((ttutxfx2)有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，即确定：，。一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态转移到的过程目标函数(性能指标，性能泛函，目标泛函)：是衡量“控制作用”效果的性能指标。为了实现动态过程中状态从)(0tX)(0tX)(0tX)(ftX)(ftX)(ftX可以通过不同的控制来完成，控制效果的好坏，可通过能否达到所规定的目标函数来判别。目标函数对不同的问题，有不同的表征：如：时间最短，燃料最少，成本最低等。3）容许控制实际系统，都有规定的取值范围，它对应于M维控制空间中的某一个集合，的每一个取值对应于中的一个元素容许控制即u(t)受约束：极小值原理求解mR可任意取值经典变分法求解。)(tUmutu)()(tU)(tU)(tU有不同的控制作用可以完成。为了评价各种控制作用的优劣，需用性能指标评价。性能指标中的形式取决于最优控制问题要完成的任务，不同的最优控制问题。不同的性能指标，采用不同的控制作用,性能指标J不同。J是控制u(t)的函数，通常表示为：)(ftx)(0tx)]([tuJ的几种形式：1积分型性能指标：dtttutxLuJftt0]),(),([][2末值型性能指标：]),([][ffttxuJ3综合型性能指标：dtttutxLttxuJfttff0]),(),([]),([][特殊情况，二次型性能指标：fttTTffTdttRututQxtxtFxtxuJ0)]()()()([21)()(21][][uJ最优控制问题的提法数学描述如下：1.给定系统状态方程：)),(),((ttutxfxBuAxx或)()()()(21txtxtxtxn)()()()(21tutututun]),(),([]),(),([]),(),([21ttutxfttutxfttutxffn式中：为n维状态向量；：m维状态向量()为n维状态向量函数，且对连续可微4)(tx)(tunm)),(),((ttutxfttutx),(),(容许控制u(t)在m维的有界闭集U中取值，即：2.给定初始条件：3.明确终端条件：x(t)满足目标集：S：0]),([ffttxGfP×1维向量函数4给定性能指标：dtttutxLttxuJfttff0]),(),([]),([][Rmutu)(],[0fttt00)(xtx问题提出：确定一个最优控制，使系统从初始状态转移到终端状态，并使性能指标J[u]为极大（小)值，此时，称为最优控制作用，记为。代入所得为最优状态轨线。J为最优性能指标。*)(*tu)(0txf例题分析：[数学描述]登月火箭到达月球表面时的软着陆问题：火箭飞行的最后阶段，进入了月球的引力范围,当火箭垂直自由降落到距离月球表面为h的地方时，要求火箭速度为0，并且燃料消耗为最小。)(ftx)(*tu)(tu)(*tx)(*tumgt=t火箭F(制动力)月球表面0分析：在火箭速度降为0之前，制动力与燃料消耗成正比其中：K：常数，m：火箭（包括燃料的质量）火箭从开始减速，到时速度为0，dtdmKF0ttftt即x:垂直距离htxf)(00)(xtx过程运动方程为：mg：月球引力边界条件：时：0)(00xtx00x时：htxf)(自由，自由约束条件：燃料消耗率约束：0dtdm燃料消耗有限制，不能太多mgdtdmKdtxdm220ttftt0)(00mtm)(ftmft问题提出：确定，即确定系统的制动力规律，使火箭制动阶段燃料消耗最少dtdmdtdtdmJftt0][min最优控制问题数学描述：首先选一组状态变量，将微分方程化为状态方程，并确定相应的初始状态和末端状态.由：mgkumgdtdmKdtxdm22令：则：xx1xx22xxgumkx201)0(xx02)0(Vxhtxf)(10)(2ftxdtdmkFuu0目标函数：fttdttuJ0)]([求取最优控制，使得受控系统由初始状态转移到末端状态，所消耗的燃料最小，即J最小。)(*tu注意：1）J是u的函数2）有约束，是容许控制最优控制问题的提法很多，实例很多，不再讲述，不论什么样的问题，其分析思路都是一样的，给出问题的描述方法也是相同的。根据系统初态，末端的不同，最优控制有以下特例：)(tuu最优控制的几个特例：1)终端状态给定固定端点的最1.给定优控制问题2)终端状态自由，可任意取值自由端点的最优控制问题ffxtx)(1）终端时刻已知固定端点时间的2.若初始时刻t已知最优控制问题2）终端时刻未知自由端点时间的最优控制问题ff0ftft以后将分别进行讨论。00)(xtx动态最优控制系统的结构形式：开环闭环两种一、开环：控制器对象Xdu（t）x(t)*X0特点：根据被控对象的特性（状态方程或数学模型），以及控制器的初始状态，设计，存于计算机中。随时间变化，由计算机发出控制信息，作用于被控过程从而使按理想设计状态变化程序控制。)(*tx)(*tu不足或存在问题：当系统受到干扰，使被控过程数学模型与理想模型发生偏离时，仍用，则x（t）不沿理想轨线变化。解决办法：闭环控制二闭环：控制器被控对象xdx*（t）x(t)特点：u*(t)是时变状态x(t)函数，在闭环结构中，若系统出现干扰，通过x(t)反映出来送入控制器，为控制器输出，从而可使系统修正，使系统状态仍保持在最优轨线上)(*tu)(*tu)(*tu)(*tu