含有加减运算未定式中的等价代换

含有加减运算未定式中的等价代换杨玉华一、预备知识我们以0xx为例，对其它的极限过程仍成立。1）无穷小：若0)(lim0xxx，则称当0xx时)(x为无穷小。2）等价无穷小：若0)(lim0xxx，0)(lim0xxx且1)()(lim0xxxx，则称当0xx时)(x与)(x为等价无穷小，记为)(x～)(x。3）无穷小等价代换定理：当0xx时)(x，)(x，)(1x，)(1x均为无穷小，且)(x～)(1x，)(x～)(1x。如果)()(lim110xxxx存在，则)()(lim0xxxx存在且有)()(lim)()(lim1100xxxxxxxx使用无穷小等价代换定理，可使极限运算简化，例如：例1：求2220sincos22limxxxx解：当0x时，2sinx～22cos1xx～24x由无穷小等价代换定理可知122limsincos22lim4402220xxxxxxx此极限亦可借助于罗比塔法则求解，但麻烦多了。再如例2：)1ln(lim320xxarctgxx解：当0x时，)1ln(3x～23,arcgtxx～2x1lim)1ln(lim330320xxxxarctgxxx上述求极限过程使用等价的因子之间是乘积或相除的关系，等价代换可以任意使用，不会出现什么问题。但若这些因子间是相加或相减的关系，使用等价代换就会出现问题。例如，求30limxxtgxx。此题正确解法是使用罗比塔法则，如下：313lim31seclimlim22022030xxtgxxxxtgxxxx若直接使用无穷小等价代换，就会出现如下情况：0limlim3030xxxxxtgxxx为什么会出现这种情况呢？因为当0x时xx与xtgx不等价，所以不能利用等价代换定理。对含有加减运算的不定式，何时可以用无穷小等价代换定理呢？下面的讨论就回答了这个问题。二、形如000,000的不定式以下我们用到的)(),(),(xxx均为0xx时的无穷小量。以000型为例给出使用条件。结论1：当0xx时，)(x～)(1x，)(x～)(1x，)(x～)(1x且)()()(lim1110xxxxx存在，1)()(lim110axxxx，则)()()(lim0xxxxx也存在且)()()(lim0xxxxx＝)()()(lim1110xxxxx。证明：由1111)()(1)()()()(lim)()()()(lim1111100aaxxxxxxxxxxxxxx知)()(xx～)()(),()(1111xxxx～)()(xx由无穷小等价代换定理可知，结论1成立。注意，结论1中的条件1)()(lim110axxxx是不能少的，否则结论不成立。有了结论1，再求含有加减运算未定式的极限就简便多了。例3：求xxxtgxsin2lim0解：∵12sin2lim0xxtgx∴12limsin2lim00xxxxxxtgxx例4：求xxxxsin)21ln()51ln(lim0解：∵125)21ln()51ln(lim0xxx∴3sin25limsin)21ln()51ln(lim00xxxxxxxx例5：求极限2320sin3sin2limxxxx解：∵0sin3sin2lim320xxx∴232lim2320xxxx若1)()(lim110xxxx，则结论1不能直接用，需要选取适当的)(1x和)(1x。结论2：设)(x，)(x在x0的某个领域),(0xU内具有n+1阶连续导数，且不恒为零。)(xn，)(xn分别为)(x，)(x的n次泰勒多项式，且)(xn±)(xn≠0。当0xx时，)(x～)(x，)(x～)(1x，则（1）当0xx时，)(xn～)(xn；（2）若)()()(lim10xxxnnxx存在，则)()()(lim0xxxxx存在，且)()()(lim0xxxxx＝)()()(lim10xxxnnxx。证明：（1）由泰勒公式有nnxxoxx)()()(01nnxxoxx)()()(02从而有1)()(1lim)()(lim0100xxxoxxnnxxnxx1)()(1lim)()(lim0200xxxoxxnnxxnxx即0xx时，)(x～)(xn，)(x～)(xn。又)(x～)(x，所以)(xn～)(xn。（2）)()()()()()(lim)()()(lim10100xxxoxxxxxxxnnnxxxx＝)()()(1)()()(lim010xxxxoxxxnnnnnxx＝)()()(lim10xxxnnxx其中nnnxxoxxoxxo)()()(02010所以结论成立。此结论的使用，需要掌握泰勒公式，和罗比塔法则相比，优点不是很突出。所以当我们遇到0xx时，)(x～)(x的未定式)()()(xxx，首先考虑用罗比塔法，而结论2只是给大家介绍一种方法。例6：求30sinlimxxtgxx解：)(333xoxxtgx)(!3sin33xoxxx∴30sinlimxxtgxx＝21!33lim3330xxxxxx