流体力学第七章课件

1第七章不可压缩理想流体的无旋运动第七章不可压缩理想流体的无旋运动理想流体是实际粘性流体的简化模型。有些工程问题中忽略流体的粘性，把实际流体当作理想流体处理可得到较满意的结果，例如，研究液体的波浪运动与潮汐运动、空气中液体的射流、通常情况下机翼与翼栅的升力计算。理想流体运动的理论有其局限性，像研究物体的绕流阻力、管道与渠道中流体的运动等就必须考虑流体的粘性。即使如此，这种理论亦是研究实际粘性流体运动规律的理论基础。从无穷远处来的均匀流动或从静止开始运动的理想流体运动是无旋的。此外，雷诺数较大条件下物体的绕流中，只有紧靠物体表面的薄层(称为边界层)内才需要考虑流体的粘性，在该薄层以外的广大主流区，可认为是理想流体的无旋势流。2第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-1无旋流动的速度势一、速度势的定义及其确定它是使uxdx+uydy+uzdz成为某一函数全微分的充要条件，我们把函数称为速度势。这里t为参变数。必有),,,(tzyxzuxuyuzuxuyuxzzyyxdzudyudxudzyx若是无旋运动，ω=0，在直角坐标系中必有3第七章不可压缩理想流体的无旋运动上述说明了只要求得一个速度势便可确定三个速度分量，速度势与速度的这种关系在柱坐标系与球坐标中可类似地得到，分别为又dzzdyydxxdzuyuxuzyx,,故则gradkzjyixkujuiuuzyxzururuzr,1,sin1,1,RuRuRuR由此说明了无旋必有势，反之可证有势必无旋。4第七章不可压缩理想流体的无旋运动还可证明，ψ对于任意方向l的方向导数等于该方向的分速，即证：由高等数学知识lulLuululzlzylyxlxdldzzdldyydldxxlcos),cos(),cos(),cos(其中，是该方向的单位矢量；α为与梯度的夹角；ul为速度在方向的分量。lllu5第七章不可压缩理想流体的无旋运动顺便可得到标量函数(不限于速度势ψ)的全微分与方向导数及梯度的关系：显然，已知速度分布要确定速度势，可直接根据速度势的定义求得。在直角坐标系中利用斯托克斯定理可证：对于无旋运动，在单连通区域中(域内没有奇点)上述线积分与积分路径无关。积分时可取一条简便的路径，例如图。ldulddlldlldLLzyxldudzudyudxu6第七章不可压缩理想流体的无旋运动连续性微分方程，在直角坐标中为01zuyuxudtdzyx若是无旋势流，可将zuyuxuzyx,,代入得01222222zyxdtd对于不可压缩流体，上式成为0222222zyx或写成02即为拉普拉斯(Laplace)方程，它是一个二阶线性偏微分方程。2222222zyx为拉普拉斯算子。7第七章不可压缩理想流体的无旋运动满足拉普拉斯方程的函数在数学上称为调和函数。由此可见，对于不可压缩流体的无旋流动，问题归结于求解在给定边界条件与初始条件下的拉普拉斯方程，即确定调和函数ψ(x，y，z，t)。对于平面流动，uz=0，上式成为02222yx求解速度势ψ的边界条件为(1)在无穷远处，或当)(tuuyxuyux,(2)在固壁上流体不能渗入亦不能脱离，故有0n0nu即这种边界条件下求解拉普拉斯方程的边值问题称为诺埃曼(Neumen)问题，又叫第二类边值问题。对于非定常流动，还需利用初始条件。8第七章不可压缩理想流体的无旋运动二、速度势与速度环量的关系对于无旋势流，有AALLzyxLddzudyudxuldu式中终点A'与始点A重合。显然，对于单连通区域，ψ是坐标的单值函数，则Γ=0；而对于多连通区域，ψ是坐标点的多值函数，则Γ≠0。9第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-2平面流动的流函数一、流函数的定义及其确定求解不可压缩流体平面势流问题，除了通过确定速度势ψ的途径以外，还可通过确定流函数的途径。对于不可压缩流体的平面流动，由连续性微分方程，在直角坐标系中为0yuxuyx即yuxuyx它是使-uydx+uxdy成为某一函数Ψ(x，y，t)的全微分的充要条件，则有10第七章不可压缩理想流体的无旋运动yyxxyuxuxydddddxuyuyx,故Ψ(x，y，t)就称为不可压缩流体平面流动的流函数，是拉格朗日(J.L.Lagrange)首先于1781年引入的。类似地可证：在极坐标中rurur,1由此可见，只要求出一个流函数，便可确定两个速度分量。无论是无旋流还是有旋流，理想流体还是粘性流体，定常流还是非定常流，不可压缩流体的平面流动总是存在流函数。但是，空间三元流动一般不存在流函数，仅轴对称流动除外(见§7-13)。11第七章不可压缩理想流体的无旋运动不可压缩流体平面流动流函数的确定。显然dyudxuxLy由于平面流动满足连续性微分方程式(7-13)，它是上述线积分与路径无关的充要条件，因此线积分时可取一条简便的路径。此外，若将式(7-14)代入式(7-13)可发现，引入流函数后连续性微分方程必自动满足。若是不可压缩流体平面无旋流，ω=0，存在yuxuxy将式(7-14)代入上式后得02222yx即0212第七章不可压缩理想流体的无旋运动说明了不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，即流函数亦是调和函数。求解流函数时还需利用边界条件:(1)在无穷远处yxuxuy,(2)在固壁上Ψ=常量，即固壁是一条流线(见下面流函数的基本性质1)。通常取固壁上Ψ=0，即固壁作为零流线。这种求解拉普拉斯方程的边值问题称为狄利克雷(Dirichlet)问题，又叫做第一类边值问题。对于非定常流动，还需利用初始条件。二、流函数的基本性质1.等流函数线为流线因为0dddyuxuxy即yxudyudx为流线方程。13第七章不可压缩理想流体的无旋运动2.对于不可压缩流体的平面流动，任意两点流函数之差等于通过这两点任意连线的流量。证考察通过任意一条曲线AB(z方向为单位长度)的流量(图)。对于通过微元矢量的流量ld则通过A、B两点的任意连线AB的流量ddxudyudldldxudldyudlynuxnudlnudludQyxyxyxn),cos(),cos(1BAABABdQ14第七章不可压缩理想流体的无旋运动由于引入流函数后自动满足不可压缩流体平面流动的连续性微分方程(7-13)，所以上述线积分与积分路径无关。显然，若AB曲线是一条流线，则ΨA=ΨB，QAB=0。若AB曲线是一条任意的封闭曲线，A、B两点重合，令此时的B点记为A'，则对于所在的单连通区域(域内没有点源、点汇或可膨胀、压缩的内边界时)，Ψ为坐标点的单值函数，0QdQAAAAAB0AAddQ否则，如在水下爆炸或有气泡运动的问题中，所研究的是多连通区域，Ψ为坐标点的多值函数，则式中Q0为通过内边界的总流量。15第七章不可压缩理想流体的无旋运动3.等流函数线(流线)与等势线正交这是因为0yxxyuuuuyyxx说明流函数的梯度与速度势的梯度(即速度)正交，故分别与它们垂直的等流函数线(即流线)与等势线正交。根据这一性质，流线族与等势线族组成正交网格，称为流网。在工程上，可利用绘制流网的方法图解确定平面势流的速度场。16第七章不可压缩理想流体的无旋运动例.不可压缩流体流场的流函数Ψ=ax2-ay2，问：(1)流动是无旋还是有旋？(2)若无旋，确定流动的速度势。解：(1)ayayaxyyux222axayaxxxuy222因022222aaayyaxxyuxuxyz故是无旋流。(2)ayxux2积分yfaxy2于是yyfaxyfaxyyyuy2217第七章不可压缩理想流体的无旋运动故axyyfax220dyydfyyf常数Cyf则Caxy218第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-3势流叠加原理与奇点法对于复杂势流，边界条件与初始条件往往比较复杂，要直接用解析法求解拉普拉斯方程通常十分困难，所以一般利用几个简单的基本势流的叠加得到复杂势流的解。由于这些基本势流在数学上往往存在奇点，因而势流叠加一般是奇点的叠加，故势流叠加法又称为奇点(叠加)法。这种方法的基本思想是利用凑合法，适当设置几个奇点，使叠加后得到一条符合物体边界形状的流线。19第七章不可压缩理想流体的无旋运动势流遵守叠加原理，即几个基本势流叠加后仍为势流，这是势流的又一个特点。现证明如下:设将n个基本势流的速度势叠加，得n21不可压缩流体无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程:由于拉普拉斯方程是线性的，因而叠加后的速度势仍满足拉普拉斯方程，即,0,22120222122n同理，对于不可压缩平面流动，若有n21因为平面无旋势流满足0222122n02212所以20第七章不可压缩理想流体的无旋运动由于速度势及流函数具有上述可叠加性，因而速度亦具有可叠加性:n21因为所以xxxxn21即xnxxxuuuu21同理ynyyyuuuu21则nuuuu2121第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-4基本平面势流工程上流体平行流过薄平板或平行于平面壁的理想流体流动就是平行直线流(如图)。一、平行直线流平行直线流的速度场为yyxxuuuuuusincos是定常无旋流。速度势yuxuyuxudyudxuyxyxsincos22第七章不可压缩理想流体的无旋运动上面积分设x=y=0时ψ=0，故积分常数为零。等势线为Cyuxuyx是一族平行直线(图中虚线)流函数yuxudyudxuxyxy积分中同样设x=y=0时Ψ=0(零流线)，故积分常数亦为零。流线为Cyuxuxy为一族与等势线正交的平行直线(图中实数)。显然，对于平行直线流中的任一闭合曲线，通过的流量0LdQ环绕的速度环量0Ld23第七章不可压缩理想流体的无旋运动压强场：由定常无旋流动的伯努利方程，因u=u∞=常量，故Cgpz由此可见，当z=常量或可忽略重力影响时Cp二、平面点源(或点汇)工程上单井的渗流可视为平面点源（或点汇）。扩散（或收缩）槽道中理想流体的流动亦可近似地当作平面点源（点汇）流动。若点源（或点汇）置于坐标原点，则可用极坐标方便地表示速度场，为0uruur是定常无旋的径向直线流。24第七章不可压缩理想流体的无旋运动由连续性方程，对于单位厚度(z=1)的流场rQur2式中流量Q称为点源(或点汇)的强度。当Q为正值时是点源，当Q为负值时为点汇。上式说明了ur与r的关系曲线为双曲线。随着r的增大，u