克莱姆法则

1.4克莱姆法则nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组,,,,21不全为零若常数项nbbb则称此方程组为非齐次线性方程组;,,,,21全为零若常数项nbbb此时称方程组为齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念定理1.4.1克莱姆法则如果线性方程组11112211211222221122(1.11)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112110.,,,,332211DDxDDxDDxDDxnn其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为1.11证明njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa22112222222121111121211112,,,1.11,jjnjDjAAAn用中第列元素的代数余子式依次乘方程组的个方程得在把个方程依次相加，得n,111111nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知,.,,2,1njDDxjj.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211,Dxj的系数等于上式中;0的系数均为而其余jixi.jD又等式右端为于是*当时,方程组有唯一的一个解0D*由于方程组与方程组等价,1.11故.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211也是方程组的解.1.11二、齐次线性方程组的相关定理111122121122221122001.140nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax定理1.4.2如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组仅有零解.0D1.141.14推论1.4.1如果齐次线性方程组1.14有非零解,则它的系数行列式必为零.000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解.系数行列式0D例1用克莱姆法则解方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解6741212060311512D212rr24rr12770212060311357012772121357212cc232cc2770103532733,2767402125603915181D,8167012150609115822D,10860412520693118123D,2707415120903185124D,27,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx例2用克莱姆法则解方程组.6523,611,443,325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解2311111140301253D67,023165111611403412531D,36723651116111404012332D,026511161111443013533D,26765311611111403032534D,67,DDx316736711,DDx067022,DDx216726733.1676744DDx231121314231222324231323334231424344,,1,2,3,4,1111ijaaijxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax例3设求解方程组解：方程组的系数行列式112423123222314333234411011TijjiaaaaaaDDaaaaaaaa所以方程组有唯一解。11242312322123143332344110;11ijjiaaaaaaDDaaaaaaaa1124232322342333234123411110,011111,0(aaaaDDDaaaaxxxx得本题利用了范得德蒙行列式）•例4问取何值时，齐次方程组1231231231240,230,10,xxxxxxxxx有非零解？解111132421D10111243131214313312123齐次方程组有非零解，则0D所以或时齐次方程组有非零解.20,31.用克莱姆法法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.三、小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?思考题解答不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.1.5应用举例•行列式是数学研究的重要工具之一，如线性方程组的计算，初等代数中的因式分解、解析几何、线性微分方程、空间投影变换、会计学中成本计算、电子工程、控制论等等，在这我们就解析几何中求面积、体积和通过平面上定点的曲线方程上的应用作一举例例1设平面上由三点坐标确定的三角形ABC,CABDFE,,,,,aabbccAxyBxyCxy一）二阶行列式表示平行四边开的面积111()()()222ABCADFCCFEBABDESSSSADCFDFBECFEFADBEDE111222111222111.21accabcbcabbaabbaaccabccbaabbccyyxxyyxxyyxxxyxyxyxyxyxyxyxyxy定理1.5.1二阶行列式D的列向量所确定的平等四边形的面积等于D,,.ababDcdcd其中二阶行列式令证：若D是对角行列式0,0aDabDabb矩形的面积.当D不是2阶对角行列式时，由行列式性质:当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上时，行列式的值不变，同时我们可以通过这个性质将D变换成对角形的行列式。由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证明以下结论。设为非零向量，则由确定的平行四边形的面积等于由确定的平等四边形面积,,k和假设的倍数，否则面积是0，以所确定的二个平等四边形，其中，向量是公共底边，高也相等，因而面积也相等.不是,k与，例2：计算由点（－2,－2）,（0,3），（4,－1）,（6，4）所构成的四边形面积.解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点，如每个顶点坐标都减去（－2，－2），这样新的平行四边形与原平行四边形面积相等，顶点是（0，0）（2，5）（8，6）（6，1）构造行列式2628.28.51DD二）三阶行列式表示平等六面体的体积111213212223313233,aaaDaaaaaa设有三阶行列式111213212223313233,,aaaaaaaaa令＝，D则向量组，，称为三阶行列式的列向量组。定理1.5.2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行六面体的体积等于例3：求一个顶点在（0，0，0）相邻顶点在（1，0，－1）（1，2，4）（7，1，0）的平行六面体的体积.解：以（0，0，0）为起点，作三个向量D102,124,710TTT以，，为列构造三阶行列式11702122,22.240DD所求的平行六面体体积三）行列式表示通过平面上的定点的直线、曲线方程1122,,,AxyBxy例4.用行列式表示通过平面上点的直线方程221212xxyyxxyy证：由二点式我们知道直线方程121221121111112222220111010.111xyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyyxxyxy上式二边展开移项得由此可得三线共点的条件：111111122222221333333:0:00.:0laxbycabclaxbycabclaxbycabc充要条件三点共线充要条件：1122331101xyxyxy同理可得空间直线方程：111222333110.11xyzxyzxyzxyz11223322221111222222223333,,,,,110.11AxyBxyCxyxyxyxyxyxyxyxyxy例5：通过平面上三点的圆的方程：证：220,,.AxyDxEyFxy设圆的方程是圆上任意点为则有：222211112222222233330000AxyDxEyFAxyDxEyFAxyDxEyFAxyDxEyF这是一个以A,D,E,F为未知量的齐次线性议程组，且A,D,E,F不全为零，说明方程组有非零解，所以有：22221111222222223333110.11xyxyxyxyxyxyxyxy