Levy过程及其在金融领域中的应用

Levy过程及其在金融领域中的应用复旦大学管理学院张新生二个例子MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.2RafalWeronHeavytailsandelectricitypricesTheDeutscheBundesbank’s2005AnnualFallConference(Eltville,10-12November2005):概要•Levy过程简介•Levy过程在数理金融中的应用•Levy过程的统计分析•Levy过程的进一步推广Levy过程的定义：设{X(t),t≥0}是一随机过程：如果（1）X(t)具有平稳独立增量（2）P(X(0)=0)=1（3）X(t)具有右连左极的轨道（4）X(t)是随机连续的,即,对任意a0,s≥0,当t→s有P(|X(t)-X(s)|a)→0LevyProcesses:1930s-1940sPaulLevy(France)AlexanderKhintchine(Russia)KiyosiIto(Japan)Levy过程的三种刻画•Levy-Khintchine公式：称为Levy三元组，ν称为Levy测度Levy过程的三种刻画•Levy-Ito分解：X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程+纯跳鞅是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立Levy过程的三种刻画•Levy过程是Markov过程：转移半群：T(t)f=Ef(x(t))无穷小算子：Levy过程的例子Levy-Ito分解变为：Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，此时Levy三元组应满足：Levy过程的例子稳定过程：Levy三元组：Levy过程的例子Gamma过程Levy三元组：过程的一维分布：Levy过程的例子正态逆Gauss过程：Levy三元组：过程的一维分布：Levy过程的例子Levy三元组t=1时，过程的一维分布：J1第一类Bessel函数,Y1第二类Bessel函数双曲线的Levy运动在金融领域的应用定价中的几何Levy过程模型：资产价格：St满足：Zt是Levy过程。在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的主要问题。具体的Levy过程(1)Stableprocess(Mandelbrot,Fama(1963))(2)Jumpdiffusionprocess(Merton(1973))(3)VarianceGammaprocess(Madan(1990))(4)GeneralizedHyperbolicprocess(Eberlein(1995)(5)CGMYprocess(Carr-Geman-Madam-Yor(2000))(6)NormalinverseGaussianprocess(Barndorff-Nielsen)(7)Finitemomentlogstableprocess(Carr-Wu(2003))Morton模型其中：Wt标准布朗运动，Nt为Poisson过程Yi独立同分布，服从正态分布，且Wt,Nt,Yi相互独立可供选择的等价鞅测度(1)MinimalMartingaleMeasure(MMM)(Follmer-Schweizer(1991))(2)VarianceOptimalMartingaleMeasure(VOMM)(Schweizer(1995))(3)MeanCorrectingMartingaleMeasure(MCMM)(4)EsscherMartingaleMeasure(ESMM)(Gerber-Shiu(1994),B-D-E-S(1996))(5)MinimalEntropyMartingaleMeasure(MEMM)(Miyahara(1996),Frittelli(2000))参考文献•R.Cont,P.Tankov(2003).Financialmodellingwithjumpprocesses.ChapmanandHall/CRCPress.•J.M.Corcuera,D.Nualart,W.Schoutens(2005).CompletionofaLevymarketbypower-jumpassets.FinanceStoch.9,109-127.•E.Eberlein,J.Jacod(1997).Ontherangeofoptionsprices.FinanceStoch.1,131-140.•Frittelli,M.(2000),TheMinimalEntropyMartingaleMeasuresandtheValuationProbleminIncompleteMarkets,MathematicalFinance10,39-52.•Bellini,F.andFrittelli,M.(2002),Ontheexistenceofminimaxmartingalemeasures,MathematicalFinance12,1-21.Ornstein-Uhlenbeck型过程其中Z(t)为一Levy过程，X(t)称为Ornstein-Uhlenbeck型过程K.Sato和M.Yamazato(1984,ASP)Barndorff-Nielsen-Shephard模型推广的随机波动率模型：dX(t)=bX(t)dt+σ(t)X(t)dW(t)Z(t)是一Levy过程E.Barndorff-Nielsen和N.Shephard(2001,JRSS(B))E.Barndorff-Nielsen和N.Shephard(2002,JRSS(B))利率模型CKLS模型（1992）：（1976）在r=0时，这一模型为Vasicek模型在r=1/2时，这一模型为CIR模型。在b=0，r=0，这一模型即为Merton模型MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.2过程的统计推断问题•参数估计问题最大似然估计广义矩估计估计函数（鞅估计函数）•假设检验问题有无跳、变点问题中国科学A辑，200636（8）901-927模型：问题：求参数λ，α，c的估计结果：得到了λ，α，c的最大似然估计，并证明了相合性与渐进正态性。张世斌、张新生、孙曙光模型的进一步推广自相似过程分数维布朗运动：分数维布朗运动及其随机积分分数维布朗运动的基本性质：•在H1/2时，分形布朗运动是长程相依的；•在H≠1/2时，分形布朗运动既不是Markov过程，也不是半鞅。关于分形布朗运动的随机积分•Roughpaths1.Lyons,T.J.Differentialequationsdrivenbyroughsignals.Rev.Math.Iberoamer.14(1998),215-310.2.Coutin,L.,Qian,Z.Stochasticanalysis,roughpathanalysisandfractionalBrownianmotions.Probab.TheoryRelatedFields122(2002),no.1,108-140.•Malliavincalculus关于分形布朗运动的随机积分Nualart,D.StochasticcalculuswithrespecttothefractionalBrownianmotionandapplications.ContemporaryMathematics336(2003),3-39.•WickproductsDuncan,T.E.,Hu,Y.,Pasik-Duncan,B.StochasticcalculusforfractionalBrownianmotionI.Theory.SIAMJ.ControlOptim.38(2000),582-612.•轨道意义下（path-wise）分数维Orntein-Uhlenbeck型过程(FractionalOrntein-UhlenbeckTypeProcesses)dX(t)=-αX(t)dt+σdW^H(t)+dY(t)其中W^H(t)是参数为H的分数维布朗运动，Y(t)为纯跳Levy过程。（张新生（2006））由Levy过程驱动的随机微分方程dX(t)=B(X(t))dt+M(X(t))dZ(t)Z(t)为Levy过程R.F.Bass,StochasticDierentialEquationswithJumps,ProbabilitySurveysVol.1(2004)1-19参考文献（书）•D.Applebaum,LevyProcessesandStochasticCalculus,CambridgeUniversityPress,2004•O.E.Barndorff-Nielsen,T.MikoschandS.Resnick(Eds.),LevyProcesses:TheoryandApplications,Birkhauser,2001•J.Bertoin,LevyProcesses,CambridgeUniversityPress,1996•W.Schoutens,LevyProcessesinFinance:PricingFinancialDerivatives,Wiley,2003•R.ContandPTankov,FinancialModellingwithJumpProcesses,Chapman&Hall/CRC,2004•K.Sato.LevyProcessesandInfinitelyDivisibleDistributions.Cambridge:CambridgeUniversityPress,•1999谢谢！