应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第四章部分习题解答)

应用多元统计分析第四章部分习题解答2第四章回归分析4-1设(1)试求参数a,b),,0(~,2,2,323321332211INbaybayay解:用矩阵表示以上模型:XbayyyYdef32132121120132111210121211201210121)(ˆˆˆyyyYXXXba则3第四章回归分析)2(51)2(6122500632321323211yyyyyyyyyy(2)试导出检验H0：a=b的似然比统计量，并指出当假设成立时，这个统计量的分布是什么?解:样本的似然函数为])2()2()[(21exp21),,(2322212322baybayaybaL])ˆ2ˆ()ˆˆ2()ˆ[(21exp21),ˆ,ˆ(2322212322baybayaybaL4第四章回归分析0])ˆ[()(2123ln212222ayL2322212)ˆ2ˆ()ˆˆ2()ˆ(31ˆbaybayay令可得似然比统计量的分母为].23exp[)ˆ()2()ˆ,ˆ,ˆ(232232baL])3()()[(21exp21),(20320220123220ayayayaL当H0：a=b=a0成立时,样本的似然函数为5第四章回归分析0)3(3)()([22),(),(030201220020ayayayaLaaL0])ˆ[()(2123),ˆ(ln201222220ayaL令可得)3(111ˆ3210yyya令可得20drf2032022012ˆ)ˆ3()ˆ()ˆ(31ˆayayay似然比统计量的分子为].23exp[)ˆ()2()ˆ,ˆ(232023200aL6第四章回归分析232320223223202200ˆˆ)ˆ()ˆ()ˆ,ˆ,ˆ()ˆ,ˆ(VbaLaL似然比统计量为以下来讨论与V等价的统计量分布:2332222112322212)ˆ()ˆ()ˆ(31)ˆ2ˆ()ˆˆ2()ˆ(31ˆyyyyyybaybayayYXXXXIYXYXY))((31)ˆ()ˆ(3113123)(tr)(rank且,31AAAYY7第四章回归分析因为对称幂等阵,),,(~323AIXNY)1(~0)(1因),,1(~22222AYYAXXAYY当H0：a=b=a0成立时,回归模型为),(~且,31132030def3210321IZaNYZaayyyY20320220120)ˆ3()ˆ()ˆ(31ˆayayay8第四章回归分析BYYYZZZZIYaZYaZY31))((31)ˆ()ˆ(311300考虑YABY)(31ˆˆ220ZZZZXXXXAB11)()(491122563580253301经验证:①B-A是对称幂等阵;②rank(B-A)=tr(B-A)=2-1=1;9第四章回归分析③A(B-A)=O3×3.由第三章§3.1的结论6知)1(~)()ˆˆ(30)()(1因),,1(~)(22222000222YABYZaABZaYABY相互独立.ˆ与ˆˆ也就是相互独立;)(与2220YABYAYY由第三章§3.1的结论4知(H0：a=b成立时)10第四章回归分析)1,1(~)(ˆˆˆ2202FYABYAYY所以,1或1故,ˆˆ,因20223VVVVV否定域为}{}{}{fVV11第四章回归分析4-2在多元线性回归模型(4.1.3)中(p=1)，试求出参数向量β和σ2的最大似然估计.解:模型(4.1.3)为,),0(~2nnINCY样本的似然函数为)()(21exp)()2(),(22222CYCYLnn)2(21)ln()2ln()()(21)ln()2ln(),(ln222222222CCCYYYCYCYLnnnn12第四章回归分析0)()()(212ln02)(221ln22222CYCYnLCCCYL令可得参数向量β和σ2的最大似然估计为:.)ˆ()ˆ(1ˆ)(ˆ21CYCYnYCCC13第四章回归分析4-6称观测向量Y和估计向量Y的相关系数R为全相关系数.即试证明：),ˆ1ˆ其中()ˆˆ()()ˆˆ)((111221niininiiiniiiynyyyyyyyyyR.)()1(ˆ残差平方和3;)()ˆ()2(;ˆ(1)21221212yyRQyyyyRyyniiniinii）（）（^14第四章回归分析.11)1(111ˆ11ˆ1ˆ1yYnYHnHYnYnynynnnnnii证明:(1)估计向量为HYYCCCCCY1)(ˆˆ)11这里有,张成的空间1(因nnnHC(2)因niniiiiiniiiiiniiiyyyyyyyyyyyyyyyy11211)ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆˆ()ˆˆ)((15第四章回归分析00ˆ)(ˆ1)ˆ(ˆˆˆ)1ˆ()ˆ()1ˆ()ˆ()ˆ)(ˆ(1CYCCYYYyCCCYyCCYyYYYyyyynnnniiii上式第一项为:,)ˆˆ()()ˆ()ˆˆ()()ˆˆ)((11222121122212niniiiniininiiiniiiyyyyyyyyyyyyyyR16第四章回归分析.)()ˆ(12122yyniiniilUyyyyR所以(3)残差平方和Q为.)()1()1()ˆ(12222niiyyyyyyyyyyRlRRllUlQ17第四章回归分析4-7在多对多的多元线性回归模型中，给定Yn×p,Xn×m,且rank(X)=m,C=(1n|X).则)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()()()(CCCYCYCYCYQ其中β＝(C'C)-1C'Y.^)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()ˆˆ()ˆˆ()()()(CCCYCYCCCYCCCYCYCYQ证明:,)ˆ(OCYC因故交叉项=O.18第四章回归分析4-8在多对多的回归模型中，令Q(β)=(Y-Cβ)'(Y-Cβ).试证明β＝(C'C)-1C'Y是在下列四种意义下达最小：(1)trQ(β)≤trQ(β)(2)Q(β)≤Q(β)(3)|Q(β)|≤|Q(β)|(4)ch1(Q(β))≤ch1(Q(β))，其中ch1(A)表示A的最大特征值.以上β是(m+1)×p的任意矩阵.^^^^^19第四章回归分析20第四章回归分析.ˆ0)ˆ()(0)ˆ(1CCCCC等号成立21第四章回归分析22第四章回归分析23第四章回归分析见附录P394定理7.2(7.5)式