多元函数的极值

一、多元函数的极值第五节多元函数的极值第四模块微积分学的应用三、条件极值二、最大值与最小值一、二元函数的极值定义3设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)都有),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf(或)，极大值和极小值统称为极值.则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值).设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的偏导数极大值点和极小值点统称为极值点.称为极大值点(或极小值点)，使函数取得极大值的点(或极小值的点)(x0,y0)，定理1(极值存在的必要条件)且在点P0处有极值，则在该点的偏导数必为零，即,0,00)(yxfx.0,00)(yxfy,),(00yxfx),(00yxfy使得偏导数为0点称为函数的驻点.存在，设P0(x0,y0)是函数z=f(x,y)的驻点，且函数在点P0的某个邻域内二阶偏导数连续，定理2(极值存在的充分条件)令,,00)yxfAxx(,,00)(yxfBxy,,00)(yxfCyy,2ACBΔ则，(1)当0且A0时,f(x0,y0)是极大值，当0且A0时，f(x0,y0)是极小值；也可能没有极值.函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可能有极值，(3)当0时，(2)当0时，)(00,yxf不是极值；(1)先求偏导数；yyxyxxyxfffff,,,,(2)解方程组,0),(,0),(yxfyxfxy求出驻点；(3)确定驻点处),,(00yxfAxx据此判断出极值点，并求出极值.若函数z=f(x,y)的二阶偏导数连续，就可以按照下列步骤求该函数的极值：(xyfB,),00yx),(00yxfCyy及的符号，ACBΔ2的值例5求函数的极值.124),(223yxyxxyxf解(1)求偏导数,283),(2yxxyxfx,22),(yxyxfy,86),(xyxfxx,2),(yxfxy.2),(yxfyy(2)解方程组,0283,0222yxxfyxfxy得驻点(0,0)及(2,2).(3)列表判断极值点.驻点(x0,y0)(0,0)(2,2)结论极大值f(0,0)=1f(2,2)不是极值A84B22C22的符号ACB2+例6使它到三点P1(0,0)、P2(1,0)、P3(0,1)距离的平方和为最小.解l为P到P1、P2、P3三点距离的平方和，即,232221PPPPPPl因为,2221yxPP,)1(2222yxPP,)1(2223yxPP在xy坐标面上找出一点P，设P(x,y)为所求之点，二、多元函数的最大值与最小值对x，y求偏导数，有,26xlx,26yly令,0,0yxll即,026,026yx解方程组得驻点.31,31.2223322yxyx222222)1()1(yxyxyxl所以由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l可微，又只有一个驻点，因此即为所求之点.31,31例7要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为18元/m2，侧面造价均为6元/m2，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解设水槽的长、宽、高分别为x、y、z，则容积为V=xyz(x0,y0,z0)，由题设知,216)22(618yzxzxy,36)(23yxzxy即解出z，得,1223)(2336yxxyyxxyz①将①式代入V=xyz中，得二元函数,122322yxyxxyV②求V对x,y的偏导数：,)()12())(212(232222yxyxxyyxxyyxV令,0,0yVxV得方程组解之，得x=2,y=2.再代入①式中得z=3.,)()12())(212(232222yxyxxyyxyxxyV,0)12())(212(222yxxyyxyxx,0)12())(212(222yxxyyxxyy所以取长为2m，宽为2m，高为3m时，水槽的容积最大.由问题的实际意义得知，函数V(x,y)在x0,y0时确有最大值，又因为V=V(x,y)可微，且只有一个驻点，设二元函数z=f(x,y)和(x,y)在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且不同时为零，),(),(yxyxyx、可用下面步骤来求：(1)构造辅助函数,),(),(),(yxyxfyxF称为拉格朗日函数，称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组求函数在约束条件下的极值，),(yxfz),(yx0,0yF.0),(yx,0xF三、条件极值在实际问题中，往往就是所求的极值点.即,0),(),(yxyxfyy,0),(yx得可能的极值点(x,y)，此法称拉格朗日乘数法.,0),(),(yxyxfxx例8用拉格朗日乘数法解例7.解按题意组成方程组：即求函数构造辅助函数,36)(23),,(yxzxyxyzzyxF.0),,(zyx,0yFxyzV在条件)(23yxzxy下的最大值.36,0xF,0zF且可能的极值点只有一个，,023zxxz,0)(2yxxy,036)(23yxxy解之，得.2,3yxz实际问题的确存在最大值，所以当长为2m，宽为2m，高为3m时，水槽容积最大.即,023zyyz哪一个平面例9经过点(1,1,1)的所有平面中，在第一卦限与坐标面所围的立体的体积最小，并求此最小体积.解设所求平面方程为),0,0,0(1cbaczbyax所以该点坐标满足方程，.1111cba因为平面过点(1,1,1)，即又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围立体的体积为V，所以.61abcVxyzabcO现在求函数在条件下的最小值.abcV61)0,0,0(1111cbacba构造辅助函数,)1111(61),,(cbaabccbaF设,0bF,0cF.1111cba,0aF即,0612bac,0612cab.01111cba解得a=b=c=3.,0612abc它在第一卦限中与三个坐标面所围立体的体积V最小.由问题的性质可知最小值必定存在，又因为可能极值点唯一，所以当平面为x+y+z=3时，这时.293613V