中职数学双曲线的标准方程

观察下面的图片的相似之处一、双曲线的定义:到两个定点的F1,F2的距离之差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.定点叫焦点,两焦点之间的距离叫焦距.（1）2a2c；（2）2a0；（3）双曲线是两支曲线注意F2F1M二、双曲线的标准方程:12222byax其中c2=a2+b2焦点是(-c,0)和(c,0)12222bxay焦点是(0,-c)和(0,c)OyxF2F1MOMF2F1xyxyO标准方程焦点坐标图形12222byax12222bxayxyO(-c,0)和(c,0)(0,-c)和(0,c)范围对称性顶点x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a坐标轴是对称轴;原点是对称中心,叫双曲线的中心.A1(-a,0)和A2(a,0)A1A2叫实轴,B1B2叫虚轴,且|A1A2|=2a,|B1B2|=2bF2A1(0,-a)和A2(0,a)渐近线xabyyabx离心率e=ac（e1,且e决定双曲线的开口程度,越大开口越阔）F1F2F1四、等轴双曲线:1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线.2.标准方程:(1)x2-y2=a2(焦点在x轴上)(2)y2-x2=a2(焦点在y轴上)3.离心率:2e结论:等轴双曲线的方程可写成:x2-y2=m4.渐进线方程:xy重要结论双曲线的焦点到相应的顶点之间的距离为:12222byaxac双曲线的焦准距(焦点到相应准线的距离)长为:12222byaxcbcac22重要结论双曲线系的离心率为:)0(2222byaxace双曲线系的焦点为:122222cayax)0,(c双曲线系的渐近线为:)0(2222byaxxaby5xy22(5)过(2,3),;2e【基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:(1)顶点在y轴上,两顶点的距离为6,;35e(2)焦点在x轴上,焦距为16,;34e(3)过(-6,0),;35e(4)以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点;19y4x22164y36x22116x9y22128y36x2214x5y22【基础练习二】(1)已知双曲线上一点P到一个焦点的距离是10,则P到相应的准线的距离是____.116922yx6(3)已知M到P(5,0)的距离与它到直线的距离之比为,求M的轨迹方程.59x35116922yx(2)已知双曲线左支上点P到右焦点的距离是11,则P到左准线的距离是____.116922yx3(4)如果方程表示双曲线，求m的取值范围.11mym2x22方程mx2+ny2=1表示双曲线mn0【题型1】双曲线的定义及应用例1.(1)动点P到定点F1(1,0)的距离比它到F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.一条射线D.两条射线C(2)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹是____01或x14y2x22______的周长为______则ΔABF,另一焦点为F上的弦长AB为m,支的直线交在双曲线的一过焦点F0),0,1(yx(3)双曲线2212222babaA.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2mCλbyax的双曲线方程可写成1有共同渐近线byax与:结论22222222)的双曲线方程23,4渐近线且过(1有共同16y9x例2、求与双曲线22【题型2】双曲线的标准方程线方程.且过(4,3)的双曲x,23y例3.求渐近线方程为2222byax双曲线方程可写成x的ab渐近线方程为y:结论【例4】双曲线与椭圆4x2+y2=64有相同的焦点,它的一条渐进线为y=x,求双曲线的方程.y2-x2=24【练习】已知双曲线中心在原点,对称轴在坐标轴上,且与圆x2+y2=10相交于P(3,-1),若此圆过P点的切线与双曲线的一条渐进线平行,求此双曲线的方程.9x2-y2=80例5.求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长,焦点和顶点坐标,渐近线方程和离心率【题型3】双曲线的几何性质_______线的渐近线的斜率为_则双曲其准线过椭圆的焦点,个端点为焦点,1的长轴的两9y25x椭圆(05天津)双曲线以离心率为____则该双曲线的6x的准线重合,与抛物线y0)的一条准线1(ayax已知双曲线:练22222233221【题型4】焦半径公式的应用的值为____PFPF的面积为1时,PF当ΔF点P在双曲线上,1的两个焦点,y4x是双曲线F,例6.设F21212221【题型4】焦半径公式的应用并求此点的坐标.经过一定点，线段AC的垂直平分线:（2）证明的值y（1）求y距离成等差数列.的,它们与点F（0，5）),y,C(x,6),B(x),y,1上有三点A(x13x12y例7.在双曲线213321122的最小值是___.MF4MA则5定点A(5,2),的点,右支上1的右焦点为F，M为9y16x双曲线:例822【题型5】双曲线的综合应用例9:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s,(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线的方程.xy0想一想：⑴如果A,B两处同时听到爆炸声，则爆炸点应在什么样的曲线上？⑵你能想办法确定爆炸点的准确位置吗？PAB的最小值|AB|（2）求0）OPOB（）OPOA（:（1）求证原点.0.（其中O为）OPOB（）OPOA们满足（且它),y,B(x),y,有动点A(x),y,点P(x0)上有定(aay-已知等轴双曲线x:例10221100222【题型6】双曲线的综合应用关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby双曲线的第二定义：(1).MFlceea动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是双曲线.e定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率yl'l..FF’OMd.x2222221:(0);xyabaFcxc双曲线中右焦点，，对应的右准线方程是.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点2222211,9163(9,2),||||5||||xyFMAMAMFMAMF例、已知双曲线方程为的右焦点为是双曲线右支上一点，定点求的最小值，以及求的最小值.My..F2F1O.xAMy..F2F1O.xA.222221xyabABAB例、过双曲线右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，判断与为直径的圆与右准线的位置关系.Ay..F2F1O.xBM2212221231,,3,,||,||xyFFPabdyxPdPFPFP例、已知双曲线的左右焦点分别是点是左支上一点，它到左准线的距离为，双曲线的一条渐近线为问是否存在点使，成等差数列，若存在，求出的坐标.Py..F2F1O.xP22222221xyPFPFabxya例4、双曲线上一点，是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系？y..F2F1OxPy..F2F1Ox122212121,916,.3FPFxyFFPFPFS例5、双曲线的左右焦点为，点在双曲线上，且求Py..F2F1O.x64mn22221222221211,,xyyxeeabbaee例6、双曲线与的离心率分别是则的最小值为？babeabae222221,解：1112221ee221)(ee)11)(2(2221222121eeeeee)2211(212222212112eeeeeeee824222)(min21ee2030833xyxy例7、求渐进线方程为，且直线所截得的弦长为的双曲线方程.y..F2F1O.xAB时，不满足条件解：当0k),(),,(),,(002211yxyxByxA中点坐标设22112222113113xyxy2121212113yyxxxxyy:相减0031yxk400kxy又3,100ykx2213:4yxlykxk例8、已知双曲线，双曲线上存在关于直线对称的两点，求的范围.13131222yxkxky联立03)13()13(2)13(22222kxkkxky..F2F1O.xAB)1(13:kxkylAB0]3)13)[(13(4)]13(2[22222kkkk2211043kk或),33()21,0()0,21()33,(k