高等数学上38方程的近似解

上页下页结束返回首页).(xss单调增加函数.12dxyds故弧微分公式sKs0lim曲线C在点M处的曲率.dsdK曲率的计算公式.)1(232yyk复习上页下页结束返回首页D)(xfy,曲率中心D.1曲率半径kxyo.曲率圆上页下页结束返回首页基本思想Aa1xyo1：确定根的隔离区间2：以隔离区间端点作为根的初始近似值，再用一些方法加以改善精度Bb12aba§3.8方程的近似解()[,]()()0()(,)fxabfafbfxab设在区间上连续，，则方程＝０在内至少有一个实根．上页下页结束返回首页一、问题的提出求近似实根的步骤：１．确定根的大致范围——根的隔离区间．[,][,]abab确定一个区间使所求的根是位于这个区间内的实根．区间称为所求实根的唯一隔离区间．问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法．§3.8方程的近似解上页下页结束返回首页轴交点的大概位置．定出它与的图形，然后从图上如图，精确画出xxfy)(２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根．常用方法——二分法和切线法（牛顿法）上页下页结束返回首页二、二分法区间．即是这个根的一个隔离，于是内仅有一个实根在＝０且方程，上连续，在区间设],[),()(0)()(],[)(babaxfbfafbaxf；，那末如果110)(f作法：11[,]().2aabbf取的中点，计算,,)()(1111bbaaff同号，那末取与如果);(210)()(111111ababbabfaf，且，即知由上页下页结束返回首页,,)()(1111baabff同号，那末取与如果);(211111ababba及也有总之，);(211111ababba且时，可求得当１二、二分法区间．即是这个根的一个隔离，于是内仅有一个实根在＝０且方程，上连续，在区间设],[),()(0)()(],[)(babaxfbfafbaxf作法：上页下页结束返回首页);(21)(21],[2222211211ababbababa且时，可求得当复上述做法，作为新的隔离区间，重以).(21,ababbannnnnn且可求得次如此重复．小于的近似值，那末其误差作为或如果以)(21abbannn上页下页结束返回首页例１.10,04.19.01.1323使误差不超过的实根的近似值用二分法求方程xxx解,4.19.01.1)(23xxxxf令.),()(内连续在显然xf,9.02.23)(2xxxf.0)(,049.1xf,),()(内单调增加在故xf如图至多有一个实根．0)(xf上页下页结束返回首页,06.1)1(,04.1)0(ff.]1,0[0)(内有唯一的实根在xf0,1,[0,1].ab取即是个隔离区间一计算得:;1,5.0,055.0)(,5.01111baf故;75.0,5.0,032.0)(,75.02222baf故;75.0,625.0,016.0)(,625.02333baf故;687.0,625.0,0062.0)(,687.04444baf故上页下页结束返回首页;687.0,656.0,0054.0)(,656.05555baf故;672.0,656.0,0005.0)(,672.06666baf故;672.0,664.0,0025.0)(,664.07777baf故;672.0,668.0,0010.0)(,668.08888baf故;672.0,670.0,0002.0)(,670.09999baf故.671.0,670.0,0001.0)(,671.010101010baf故.671.0670.0.10,671.0,670.03其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的不足近似值即上页下页结束返回首页三、切线法()()[,()[,]()()0()(,)[,]]fxfxabfxabfafbfxabab设在上具有二阶导数，，．则方程＝且及在上保持定号０在内有唯一个的实根，是根的一个隔离区间．定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）．上页下页结束返回首页如图，0010(,())())xfxxxfxx在纵坐标的那个端点（此端点记作作切线，这切线与轴的交点的横坐标比更接近方与号程的根同．,0ax令).)(()(000xxxfxfy则切线方程为ABxyoab1x)(xfy0)(,0)(0)(,0)(xfxfbfaf上页下页结束返回首页作切线，在点))(,(11xfx.)()(1112xfxfxx得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf可记同号与如果注意,)()(0001xfxfxx得令,0yABxyoab1x)(xfy2x上页下页结束返回首页例２.10,04.19.01.1323使误差不超过的实根的近似值用切线法求方程xxx解,4.19.01.1)(23xxxxf令.0)1(,0)0(.]1,0[ff是一个隔离区间上，如图，在]1,0[,02.26)(xxf,09.02.23)(2xxxf1O上页下页结束返回首页()(1)fxf与同号，.10x令代入(1),得;738.0)1()1(11ffx;674.0)738.0()738.0(738.02ffx;671.0)674.0()674.0(674.03ffx;671.0)671.0()671.0(671.04ffx计算停止..10,671.03其误差都小于得根的近似值为1O上页下页结束返回首页四、小结求方程近似实根的常用方法:二分法、切线法（牛顿法）、割线法．切线法实质：特定的迭代法．求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.))()()((xfxfxx作业：P186-2