【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案课件 数列求和及数列应用

第10讲数列求和及数列应用第10讲数列求和及数列应用主干知识整合第10讲│主干知识整合1．常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16，13＋23＋…＋n3＝nn＋122.2．常用裂项方法1nn＋1＝1n－1n＋1；1nn＋k＝1k1n－1n＋k；1n2－1＝121n－1－1n＋1；14n2－1＝1212n－1－12n＋1；n＋1nn－1·2n＝2n－n－1nn－1·2n＝1n－12n－1－1n·2n等．3．数列求和的基本方法公式法、分组法、裂项法、错位相减法、倒序相加法．4．数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型．要点热点探究第10讲│要点热点探究►探究点一数列求和及其应用例1[2011·安徽卷]在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(1)只要根据等比数列的性质aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，即可把插入的n个数的乘积转化为1与100的乘积；(2)根据差角的正切公式进行裂项．第10讲│要点热点探究【解答】(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①Tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，②①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得T2n＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.第10讲│要点热点探究(2)由题意和(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1，另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝tank＋1－tank1＋tank＋1·tank，得tan(k＋1)·tank＝tank＋1－tanktan1－1.所以Sn＝k＝1nbk＝k＝3n＋2tan(k＋1)·tank＝k＝3n＋2tank＋1－tanktan1－1＝tann＋3－tan3tan1－n.第10讲│要点热点探究【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识．本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似于等差数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项．第10讲│要点热点探究设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．(1)证明：数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)证明：1S1＋1S2＋…＋1Sn2；(3)设集合M＝{m|m＝2k，k∈Z，且1000≤k1500}，若存在m∈M，使对满足nm的一切正整数n，不等式Sn－1005a2n2恒成立，求这样的正整数m共有多少个？第10讲│要点热点探究【解答】(1)由已知，2Sn＝a2n＋an，且an0，当n＝1时，2a1＝a21＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2Sn－1＝a2n－1＋an－1，于是2Sn－2Sn－1＝a2n－a2n－1＋an－an－1，即2an＝a2n－a2n－1＋an－an－1，于是a2n－a2n－1＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.因为an＋an－10，所以an－an－1＝1(n≥2)．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an＝n.第10讲│要点热点探究(2)因为an＝n，则Sn＝2nn＋1＝21n－1n＋1，所以1S1＋1S2＋…＋1Sn＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋12.(3)由Sn－1005a2n2，得nn＋12－1005n22，即n21005，所以n2010.由题设，M＝{2000,2002，…，2008,2010,2012，…，2998}，因为m∈M，所以m＝2010,2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．设这个等差数列共有k项，则2010＋2(k－1)＝2998，解得k＝495.故集合M中满足条件的正整数m共有495个．第10讲│要点热点探究例2设数列{an}满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝n2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】第(1)问直接利用递推式求通项公式；第(2)问是一类典型的错位相减法来求和的问题．第10讲│要点热点探究【解答】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①∴n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1.②①－②，得nan＝2n－1，an＝2n－1n(n≥2)，在①中令n＝1得a1＝2，∴an＝2n＝1，2n－1nn≥2.(2)∵bn＝2n＝1，n·2n－1n≥2.则当n＝1时，S1＝2.∴当n≥2时，Sn＝2＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，则2Sn＝4＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.相减得Sn＝n·2n－(2＋22＋23＋…＋2n－1)＝(n－1)2n＋2(n≥2)．又S1＝2，∴Sn＝(n－1)·2n＋2(n∈N*)．第10讲│要点热点探究【点评】本题是一类比较典型的数列解答题，第(1)问求通项，第(2)问求和，求和时利用错位相减法实现．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法．第10讲│要点热点探究已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，a3＋a7＝10，b3＝a4.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.第10讲│要点热点探究【解答】(1)依题意，{an}为等差数列，设其公差为d；{bn}为正项等比数列，设其公比为q，即可知q0.∵a3＋a7＝10，∴2a5＝10，即a5＝5.又a1＝1，∴a5－a1＝4d＝4，解得d＝1.故an＝a1＋(n－1)d＝n.由已知b3＝a4＝4，∴q2＝b3b1＝4，即q＝2.∴bn＝b1qn－1＝2n－1.所以an＝n，bn＝2n－1.第10讲│要点热点探究(2)∵cn＝an·bn＝n·2n－1，∴Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.以上两式相减，得－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n＝1×1－2n1－2－n×2n＝(1－n)2n－1，∴Tn＝(n－1)2n＋1.第10讲│要点热点探究►探究点二数列应用题的解法例3[2011·湖南卷]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．第10讲│要点热点探究【解答】(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.第10讲│要点热点探究(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，An＝780－210×34n－6n，因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．又A8＝780－210×3428＝82476480，A9＝780－210×3439＝76799680，所以须在第9年初对M更新．第10讲│要点热点探究【点评】本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能，看下面的变式．第10讲│要点热点探究某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为5001＋12n万元(n为正整数)．(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？第10讲│要点热点探究【解答】(1)依题意知，An是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n项和，所以，An＝480n＋nn－12×(－20)＝490n－10n2，Bn＝5001＋12＋5001＋122＋…＋5001＋12n－600＝500n＋50012＋122＋…＋12n－600＝500n＋500×121－12n1－12－600＝500n－5002n－100.第10讲│要点热点探究(2)依题意得，BnAn，即500n－5002n－100490n－10n2，可化简得502nn2＋n－10，∴可设f(n)＝502n，g(n)＝n2＋n－10.又∵n∈N＋，∴f(n)是减函数，g(n)是增函数，又f(3)＝508g(3)＝2，f(4)＝5016g(4)＝10.则n≥4时不等式成立，即至少经过4年．第10讲│要点热点探究►创新链接6数列中的不等式问题高考对不等式的综合考查主要是三个方面：一个是在函数导数的综合题中使用不等式讨论函数性质；一个是在解析几何中使用不等式确定直线与曲线的位置关系、解决范围最值等问题；再一个也是难度最大的一个就是在数列中考查不等式．在数列中考查的不等式的主要类型是结合数列的通项与求和证明不等式，探究不等关系，求最值等．解决数列中的不等式问题的方法是灵活的，但基本的思想是比较和放缩，解题的关键是对已知关系的变换，通过变换实现已知向求解目标的转化．第10讲│要点热点探究例4[2011·浙江卷]已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋1a22＋…＋1a2n与1a1的大小．【分析】(1)通过等差、等比数列的性质，得到首项与公差；(2)1a2n为等比数列，易得它的前n项和，而比较大小，主要方法是比较法．第10讲│要点热点探究【解答】设等差数列{an}的公差为d，由题