椭圆习题课

2．2．3椭圆习题课1．进一步巩固椭圆的简单几何性质．2．掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．1．直线与椭圆的三种位置关系是：____________________.2．联立直线与椭圆方程得到方程组y＝kx＋b，fx，y＝0，消元得Ax2＋Bx＋C＝0，由其判别式可判断直线与椭圆公共点的个数．(1)当Δ0时，直线与椭圆有________．(2)当Δ＝0时直线与椭圆有________．(3)当Δ0时，直线与椭圆________．相离、相切、相交两个交点一个交点无交点3．椭圆上到椭圆中心最近的点是__________；最远的点是__________．4．椭圆上到椭圆焦点最近或最远的点一定是___________．短轴端点长轴端点长轴端点【要点1】你能运用三角函数知识解释，为什么e＝ca越大，椭圆越扁；e＝ca越小，椭圆越圆吗？【剖析】如图2－2－5所示，在Rt△BF2O中，图2－2－5cos∠BF2O＝ca，ca越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；ca越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．【要点2】共焦点的椭圆方程的设法及焦点弦公式．【剖析】(1)与椭圆x2a2＋y2b2＝1有共同焦点的椭圆方程可设为x2a2＋k＋y2b2＋k＝1.(2)焦点弦(过焦点的弦)：设AB为椭圆的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则|AB|＝2a±e(x1＋x2)＝2a±2ex0(由椭圆的第二定义可推)．题型1直线与椭圆的位置关系例1：椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．思维突破：解答本题可先利用弦长公式及两点斜率公式构造方程组，再通过解方程组，得到基本元素a，b的值，从而求得方程．自主解答：由ax2＋by2＝1，x＋y＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2·4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵OC的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋23y2＝1.【变式与拓展】1．设椭圆C:x2a2＋y2b2＝1ab0过点(0,4)，离心率为35.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得16b2＝1，∴b＝4.又由e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5.∴椭圆C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点3，0且斜率为45的直线方程为y＝45x－3，设直线与椭圆C的交点为Ax1，y1，Bx2，y2，将直线方程y＝45x－3代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝3－412，x2＝3＋412，∴AB的中点坐标x－＝x1＋x22＝32，y－＝y1＋y22＝25x1＋x2－6＝－65，即中点坐标为32，－65.题型2求椭圆离心率的取值例2：设椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围．自主解答：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，A为右顶点(a,0)，P为(x0，y0)，∵PO⊥PA，∴y0x0·y0x0－a＝－1，即y20＝ax0－x20.又x20a2＋y20b2＝1，∴(a2－b2)x20－a3x0＋a2b2＝0，(x0－a)[(a2－b2)x0－ab2]＝0.求离心率的取值范围，关键是根据题设条件得到关于a，c的不等关系，或者得到a，c的取值范围．又0x0a，∴x0＝ab2a2－b2，且0ab2a2－b2a，而b2＝a2－c2，∴0a2－c2c21.∴01e2－11.∴22e1.【变式与拓展】2．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，且PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则该椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.53解析：由题意，得|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，解得|PF1|＝43a，|PF2|＝23a，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，所以209a2＝4c2，则e＝53.D题型3直线与椭圆的弦中点问题例3：已知椭圆C的焦点F1(－22，0)和F2(22，0)，长轴长6.(1)设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标；(2)求过点(0,2)的直线被椭圆C所截弦的中点的轨迹方程．自主解答：(1)由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c＝22，a＝3，从而b＝1，所以其标准方程是：x29＋y2＝1.联立方程组x29＋y2＝1，y＝x＋2，消去y，得10x2＋36x＋27＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB线段中点为M(x0，y0)，那么：x1＋x2＝－185，x0＝x1＋x22＝－95，所以y0＝x0＋2＝15.即线段AB的中点坐标为－95，15.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，把它代入x2＋9y2＝9，整理，得(9k2＋1)x2＋36kx＋27＝0，要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ0，即k－33或k33，设直线与椭圆两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点坐标为C(x，y)，则x＝x1＋x22＝－18k9k2＋1，y＝－18k29k2＋1＋2＝29k2＋1，从参数方程x＝－18k29k2＋1，y＝29k2＋1，k－33或k33，消去k，得x2＋9(y－1)2＝9，且|x|3,0y12.当直线的斜率不存在时，所截弦的中点为(0,0)，也符合02＋9(0－1)2＝9.综上，所求轨迹方程为x2＋9(y－1)2＝9，其中|x|3,0≤y12.【变式与拓展】3．已知过椭圆x216＋y24＝1内一点M(1,1)的弦AB，如图2－2－6.图2－2－6(1)若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；(2)求过点M的弦的中点的直线的轨迹方程．解：(1)当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k，则AB的方程可设为y－1＝k(x－1)．由y＝kx－1＋1，x216＋y24＝1，得x2＋4(kx＋1－k)2＝16，即(1＋4k2)x2＋8k(1－k)x＋4(1－k)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8kk－11＋4k2，而M(1,1)是AB中点，则x1＋x22＝1.综上，得8kk－11＋4k2＝2，解得k＝－14.∴直线AB的方程为y－1＝－14(x－1)，即x＋4y－5＝0.当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x＝1，但此时，M不是AB中点．综上，直线AB的方程为x＋4y－5＝0.(2)设弦AB的中点为P(x,y)，∵A，B，M，P四点共线，∴kAB＝kMP.即－14·x1＋x2y1＋y2＝y－1x－1(x≠1)，而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴－142x2y＝y－1x－1，整理得轨迹方程为：x2＋4y2－x－4y＝0(x≠1)．当x＝1时，斜率不存在，中点是(1,0)，也满足上面的轨迹方程．综上所述，轨迹方程是x2＋4y2－x－4y＝0.