上海高三立体几何复习教师版

1学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题立体几何授课类型T同步：知识梳理C专题：夹角与距离问题T能力：高考真题与模拟题教学目的1、梳理高考立体几何基础知识点；2、复习立体几何常规题型与解题方法；3、检测知识掌握情况。教学内容T同步：知识梳理（一）立体几何考纲内容记忆性水平解释性理解水平探究性理解水平空间图形平面及其表示法体验从现实世界中抽象出空间形式的过程。会用平行四边形以及字母表示平面。平面的基本性质在观察、实验的基础上归纳平面的基本性质。通过用基本性质解释实际事例和证明有关推论，加深对基本性质的理解。会用文字语言、图形语言、集合语言表述平面的基本性质，并会用于进行简单的推理论证。掌握确定平面的方法。几何体的直观图会用“斜二测”方法画简单的几何体（长方体、棱锥）以及长方体的截面（如截平面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）等。掌握画空间图形的基本技能，具有一定的空间想象能力。空间直线与平面的位置关系初步会将平行线的传递性、等角定理等由平面推广到空间，并对等角定理进行证明。会求简单情形下的异面直线所成的角。会用文字语言、图形语言、符号语言、集合语言表示这些位置关系；会用反证法证明两条直线是异面直线。通过用演绎法对空间有关问题（如平面基本性质的推论、等角定理、两条直线是异面直线等）进行证明和推算，具有一定的演绎推理能力。简单几柱体认识圆柱的基本特征体会化“曲”为“直”、祖暅原理和图形割补等思想方法。掌握棱柱的有关概念以及直棱柱的有关性质。会解决柱体的表面积、体积的计算问题。2何柱体的研究锥体认识圆锥的基本特征体会化“曲”为“直”、祖暅原理和图形割补等思想方法。掌握棱锥的有关概念以及正棱锥的有关性质。会解决椎体的表面积、体积的计算问题。球认识球的基本特征。知道球的表面积和体积的计算公式。知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学与实际的联系。会用球的表面积和体积公式进行有关的度量计算。类比有关圆的研究，对球及有关截面的性质进行探讨。（二）基础知识梳理平面及其基本性质平面的特征：无厚度、无边界，在空间中无限延伸，像桌面一样“平”.点、线、面的集合表示：图形符号语言文字语言（读法）AaAaÎ点A在直线a上AaAaÏ点A不在直线a上AaÎ点A在平面内AAaÏ点A不在平面内baAabA=直线a、b交于A点aa直线a在平面内aaa=?直线a与平面无公共点aAaAa=直线a与平面交于点Al平面、相交于直线l公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.A3公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.空间直线与直线的位置关系公理4平行于同一直线的两条直线互相平行定理1如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。异面直线：不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线。异面直线判定方法：①依据定义（常用反证法）②经过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线所成的角：如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).可知，两异面直线的夹角范围是2,0(空间直线与平面的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示4aαa∩α=Aa∥α1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．3、线面垂直的判定定理：定理2如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都垂直，那么直线l与平面垂直。4、线面垂直的性质定理：如果直线l与平面垂直，则直线l垂直于内的所有直线5、线面角：直线l与其在平面上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角直线与平面所成的角的范围]2,0[6、点到面的距离：设M是平面外一点，过点M作平面的垂线，垂足为N，MN之间的距离为点M到平面的距离7、直线和面的距离：直线l平行于平面，在直线上任取一点，把点到平面的距离叫做直线和平面的距离8、平行平面的距离：若平面平面//，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。9、异面直线之间的距离：直线a，b是异面直线，当点M，N分别在a,b上，且直线aMN，且bMN,垂足M,N之间的距离叫做异面直线a,b之间的距离。空间平面与平面的位置关系二面角：设两个平面AB，AB将两个平面分割成两个半平面，由，的半平面及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角，记作AB-.交线AB叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：在二面角AB-的棱AB上任取一点O，过O分别在面，上做棱AB的垂线OM,ON射线OM,ON所成的角叫做二面角AB-的平面角。二面角的范围],0[简单几何体51.棱柱：一般地，如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都互相平行，那么这个多面体叫做棱柱。⑴①直棱柱侧面积：ChS（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：lCS1（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形侧面与底面边长相等⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的．．．矩形．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.②正棱锥的侧面积：'Ch21S（底面周长为C，斜高为'h）⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×l底侧SS2hShS直截面底直棱柱chhS底棱棱锥各侧面积之和底侧SShS底316锥正棱锥'21ch表中S表示面积，'c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，'h表示斜高，l表示侧棱长.旋转体的表面积、体积和球面距离圆柱及相关概念1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。2．相关概念：（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线圆锥及相关概念1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。2．相关概念：（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；（3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线球及相关概念：1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。另外将圆绕直径旋转180°度得到的几何体也是球。2．相关概念：（1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面，也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；（2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；（3）半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；7（4）直径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径；（5）球的表面积公式：24RS.（6）球的体积公式：334RV.①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.3.①内切球：②外接球：OrOR8C专题：夹角与距离问题（一）线线角（两直线夹角）1、空间内两直线所成角范围0,2当空间两直线12ll、所成角为直角时，12ll当空间两直线12ll、所成角为零角时，若12ll，则12ll若12ll，则12ll2、异面垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直[来源:学§科§网Z§X§X§K](2)记法:异面直线a,b互相垂直,记为a⊥b(3)分类:共面垂直（相交）两直线垂直异面垂直3、异面直线所成的角的定义：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线//,//aabb，,ab所成的角的大小与点O的选择无关，把,ab所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上奎屯王新敞新疆异面直线所成的角的范围：]2,0(奎屯王新敞新疆平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。1．如果a,b是异面直线，b,c也是异面直线，则a,c的位置关系是（D）.A．异面；B.相交或平行；C.异面或平行；D.相交，平行，异面都有可能.[来源:学。科。网Z。X。X。K]92．若直线a,b都垂直于直线c，则a,b的位置关系是（D）A．平行；B.相交或平行；C.异面或平行；D.相交，平行，异面都有可能.4．长方体1111ABCDABCD中，AB=4，AD=3，12AA，求异面直线1BDAC和所成角大小.答案：145297arccos5．在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点.AB=CD=2，3EF，求AB与CD所成角的大小.答案：36．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、AC、BC两两垂直，E为线段AB的中点，2ACBC，PCt，当t变化时，1AAB1BBDC1CBAABCDEFCP1D10求异面直线PB与CE所成角的取值范围.答案：)2,4(例1.如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点。（1）求异面直线AE和PB所成角的大小；（2）求三棱锥A—EBC的体积【答案】：（1）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF//PB，所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角；……………3分∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，分6;41arccos41222322cos;2,2,3AEFAEFEFAEAF所以异面直线AE和PB所成角的大小为.41arccos（2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为,121PA…………10分.33144331ABCEEBCAVV例2.如图