上海-解析几何综合测试题附答案

上海高二数学解析几何综合试题（附答案）1．12FF、是椭圆2214xy的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则12||||PFPF的最大值是．2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆72x+32y=1的公共点有_______个.3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值为.4．若圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。则实数a的范围为.5．若曲线24yx与直线(2)ykx+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是.6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.7．经过两圆（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程为____________8.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是___________.9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是___________.10．设P1（2，2）、P2（－2，－2），M是双曲线y=x1上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=22；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于22|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.11．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）A.椭圆B.AB所在直线C.线段ABD.无轨迹12．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则2xy的最小值为（）A.1B.－1C.－323D.以上都不对13已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆mx2+ny2＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝3π2时，△F1PF2的面积最大，则有（）A.m=12，n=3B.m=24，n=6C.m=6，n=23D.m=12，n=614.P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是()12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线三、解答题上海高二数学解析几何综合试题（附答案）15．（满分10分）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求021yyy的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.16．（满分10分）如下图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）证明：11y+21y=b1；（2）当a=2p时，求∠MON的大小.APBOxyxyOMNabl（15题图）（16题图）17．（满分10分）已知椭圆C的方程为22ax+22by=1（ab0），双曲线22ax－22by=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当FA=λAP时，求λ的最大值.上海高二数学解析几何综合试题（附答案）xyOABFPlll21（17题图）（18题图）18．（满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO（如上图）．（Ⅰ）求AOB得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．19．（满分12分）抛物线y2=4px（p0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x03p；（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0p1时，求||121NN+||132NN+…+||11110NN的值.20．（满分12分）设A、B是椭圆223yx上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.xyOAB上海高二数学解析几何综合试题（附答案）解析几何综合题1．12FF、是椭圆2214xy的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则12||||PFPF的最大值是．1答案：4简解：12||||PFPF≤2212||||()42PFPFa2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆72x+32y=1的公共点有____________个.2答案：0m2+n23；2简解：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.令Δ0得m2+n23.又m、n不同时为零，∴0m2+n23.由0m2+n23，可知|n|3，|m|3，再由椭圆方程a=7，b=3可知公共点有2个.3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值为.3．答案：211-1简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值4．若圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。则实数a为.4．答案：817a或11a简解：将圆012222aaxyx与抛物线xy212联立，消去y，得).0(01)212(22xaxax要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。.01021202aa或.0102a解之5．若曲线24yx与直线(2)ykx+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围上海高二数学解析几何综合试题（附答案）是.5．答案：314k简解：将曲线24yx转化为224xy时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线yx平行的直线与双曲线的位置关系。6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.6．答案：（x－2）2+（y+3）2=55．简解：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.又已知圆心在直线2x－y－7=0上，y=－3，2x－y－7=0.∴圆心为（2，－3），半径r=|AC|=22)]4(3[2=5.∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5.7．经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程为____________..7．答案：（x+21）2+（y+27）2=289简解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.展开、配方、整理，得（x+13）2+（y+13）2=1284+22)1()1(9.圆心为（－13，－13），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.故所求圆的方程为（x+21）2+（y+27）2=289.8.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是___________.8．答案：（－∞，0）∪（1，+∞）简解：解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是___________.9．答案：.y2－482x＝1（y≤－1）简解：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48，所以轨迹方程为∴联立解得x=2，上海高二数学解析几何综合试题（附答案）y2－482x＝1（y≤－1）.10．设P1（2，2）、P2（－2，－2），M是双曲线y=x1上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=22；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于22|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.10答案：①②③简解：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.11．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）A.椭圆B.AB所在直线C.线段ABD.无轨迹11．答案：C简解：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=34x，其中0≤x≤3.12．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则2xy的最小值为（）A.1B.－1C.－323D.以上都不对12．答案：C简解：2xy的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.令Δ=0，k=±323.∴kmin=－323.13．.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆mx2+ny2＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝3π2时，△F1PF2的面积最大，则有（）A.m=12，n=3B.m=24，n=6C.m=6，n=23D.m=12，n=613．答案：A简解：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.14.P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是()12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线14．答案：B简解：延长F1Q与PF2相交点R，根据双曲线的定义，R在以F2为圆心的圆上，利用代入法得15．如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.上海高二数学解析几何综合试题（附答案）（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F的距离；APBOxy（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求021yyy的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.解：（1）当y=2p时，x=8p.又抛物线y2=2px的准线方程为x=－2p，由抛物线定义得所求距离为8p－（－2p）=85p.（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1，y02=2px0，相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），故kPA=0101xxyy=012yyp（x1≠x0）.同理可得kPB=022yyp（x2≠x0）.由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，即012yyp=－022yyp，所以y1+y2=－2y0，故021yyy=－2.设直线AB的斜率为kAB.由y22=2px2，y12=2px1，相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），所以kAB=1212xxyy=212yyp（x1≠x2）.将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得kAB=212yy