王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第5章课件

第5章线性定常系统的综合1.引言2.状态反馈和输出反馈3.状态反馈系统的能控性和能观测性4.状态反馈极点配置6.镇定问题7.状态重构和状态观测器8.降阶观测器9.带状态观测器的状态反馈系统10.渐近跟踪和干扰抑制问题11.解耦问题12.MATLAB的应用本章内容为:5.输出反馈极点配置5.1引言线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。5.2状态反馈和输出反馈5.2.1状态反馈线性定常系统方程为：DuCxyBuAxx（1）假定有n个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。KxVu（2）其中，K为反馈增益矩阵；V为r维输入向量。nr则有DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(（3）5.2.2输出反馈采用HyVu（4）H为常数矩阵mrVDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx])([])([)(11DVDHICxDHIy11)()(（5）两者比较：状态反馈效果较好；输出反馈实现较方便。5.3状态反馈系统的极点配置线性定常系统方程为CxyBuAxx（6）引入状态反馈KxVu（7）CxyBVBK)xAx(则有（8）5.3.1状态反馈系统的能控性和能观性定理5-1线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不改变系统的能控性。对任意的K矩阵，均有证明IKIBAIBBKAI0)(λλBAIBBKAIλλrank)(rankIKI0因为满秩，所以对任意常值矩阵K和，均有λ（9）（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。5.3.2极点配置定理线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。状态反馈KxVu（11）线性定常系统CxBAxxyu（10）CxbbK)xAxyV(状态反馈系统方程（12）因为A和b一定，确定K的就可以配置系统的极点。经过线性变换，可以使系统具有能控标准形。xPx1（13）uaaan100100001000010110xxx110nβββy系统传递函数：)()(][][)(011101221111ssasasasβsβsβsβsssgnn-nnn-nn-bAICbAIC（14）方法一：（15）引入状态反馈xKxKPKxVVVu1令1101nkkkKPK（16）其中为待定常数110,,,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA状态反馈系统特征多项式为)()()()](det[)(Δ0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）设状态反馈系统希望的极点为nsss,,,21其特征多项式为*0*11*11*)()(ΔasasassssnnnniiK（18）比较（17）式和（18）式，选择使同次幂系数相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而状态反馈矩阵110nkkkPKK1k110det[sI-(A-BK)]=nnnsfKsfKsfK011Kn-kkk假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。方法二：首先，判断系统为能控。其特征多项式为*0*11*11*)()(ΔasasassssnnnniiK由各幂次系数分别对应相等，并且解n元一次方程组，即可确定状态反馈矩阵。设状态反馈系统希望的极点为nsss,,,21其中，为K的各分量元素的线性组合。011nf,f,,f注：在求解上面的过程中，如果出现等的乘积项，只要系统为能控的，则在计算过程中一定能够消去。如果不能消去的话，只有2种可能：1）系统不能控；2）计算过程中有错误。011n-kkk011n-kkk因为：1.系统变换成能控标准型后配置极点，没有等的乘积项；2.能控系统的方程一定能够转换成能控标准型；3.非标准型能控系统方程，与它的能控标准型方程是等价的。两者之间只是进行了非奇异线性变换，不影响其基本属性。所以：在非标准型方程配置极点的过程中产生的乘积项必将在计算过程中消去。011n-kkk例5-3某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流，即。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数、转动惯量；电动机电枢回路电阻；电枢回路电感；电动势系数为、电动机转矩系数为。选择、、作为状态变量。将系统极点配置到和，求K阵。TGTGKuDim/(rad/s)N1f2mkg1DJΩ1DRH1.0DLV/(rad/s)1.0eKm/AN1mKoDi31j10解1.建立系统状态空间模型)(oiθKuAAuKuAPDuKuDDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx为恒定的负载转矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy2.计算状态反馈矩阵9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系统能控计算出状态反馈矩阵1.02.14210KKKK状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）。FT经过结构变换成（d）图所示的状态图10K因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：440PAKKKKP12.1KKP21.0KK验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。5.4输出反馈系统的极点配置5.4.1输出反馈系统的能观测性和能控性定理5-2对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。证明：ABxxuyCx设系统方程为控制VHyu输出反馈系统方程为()ABHCBVxxyCx对于任意常值反馈矩阵H，均有()0IABHCIBHIAICC因为不论H为何种常值矩阵，矩阵0IBHI均为满秩，所以()IABHCIArankrankCC可见，输出反馈不改变系统的能观性。定理5-3对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。证明：ABxxuyCx设系统方程为控制VHyu输出反馈系统方程为()ABHCBVxxyCx对于任意常值矩阵H，均有0()IIABHCBIABHCI因为不论H为何种常值矩阵，矩阵0IHCI均为满秩，所以()rankIABHCBrankIAB可见，输出反馈不改变系统的能控性。5.4.2输出反馈系统极点配置的局限性xxbAuyxC设系统方程为其中，x——n维；u——标量；y——m维。引入输出反馈：yuVH得到：()xbxbAHCVyxC设A的特征多项式为：1110()nnnssasasa若系统能控，则进行线性变换，成能控标准形：10111010001001bbnTAPAPaaaPCCP设闭环极点为：，其多项式为：*(1,2,,)isin*1**1101()()nnnHinissssasasa（20）记12CnCCC，其中为的第i列。iCC12Hmhhh而，其中为H的第i列ih011010000101A-bHCHC=naaa01121010001()()()TTTTTTnnaCHaCHaCH()detA-bHCHssI111201()()()nTTnTTTTnnsaCHsaCHsaCH（21）令（20）式和（21）式的s同次幂系数相等，得到*100*211*11TTTTTTnnCHaaCHaaCHaan个方程的联立方程组，m个未知量，当mn时，方程组无解。（22）对于给定的，（22）式有解的条件是：它们相容。*(1,2,,)iain即：当的秩为m时，m个方程的唯一解应能够满足剩下的（n-m）个方程，则（22）式有解，输出反馈控制可以配置极点。C例5-5系统方程为01000010,1241x=xu102011yx采用常值输出反馈，分析该常值输出反馈系统的极点配置问题。12THhh解：由方程组（22）计算1*1102101TThCHhah1*2212012TThCHhah方程相容的条件为1*312222124TThCHhhah***01220aaa即：（23）如果希望极点为-1、-1、-2，则特征多项式为，不满足（23）式。即不能用常值输出反馈任意配置极点。32()452Hssss如果特征多项式为，则满足（23）式。32()421Hssss5.4.3输出反馈系统极点配置的基本结论例如：系统方程为1rmnmin,1nrm定理5-4系统（1）能控、能观测，rankB=r，rankC=m。存在一个常值输出反馈矩阵H，使闭环系统有个极点可配置任意接近个任意指定的极点（复数共轭成对）的位置。在的情况下，几乎所有的系统都可以通过输出反馈使之稳定。min,1nrm010001xxu10xy由于r=1，m=1，n=2，因此，即引入后，可以任意接近地配置的极点数是1。该闭环系统的特征方程为。如果希望闭环极点为，则选择h=1，可以将一个极点配置在与希望极点最近的位置上，但是不能配置在希望极点上。min,11nrmuVHy20sh11j5.4.4动态输出反馈系统的极点配置系统方程为xxuAByxC(24)其中，x为n维，u为r维，y为m维向量。采用输出反馈，同时引入补偿器1111zzyzyABwCD其中，z为l维，w为r维向量。控制信号1111-----uVwVzyVzxCDCDC（25）（26）将（26）式代入（24）式，得111()()xxVzyxzVABGDABDCBCB11zzxABC动态输出反馈系统的系统方程为11110xxVzzABDCBCBBCAyxC（27）为了能用类似常值输出反馈系统的极点配置方法，将补偿器的参数转化为等效的静态输出反馈矩阵来设计。令：xxzC0VVC