函数的微分录课课件.

第二章导数和微分§2.5函数的微分§2.5函数的微分2.5.1认识函数的微分2.5.2函数微分的概念2.5.3微分的几何意义2.5.4微分在近似计算中的应用小结本节基本要求1.理解函数微分的概念，会求函数的微分；2.了解可微与可导的关系以及微分的几何意义.3.理解并掌握微分在近似计算中的应用.重点：微分的概念与计算难点：微分的概念.一、认识函数的微分引例:求正方形金属薄片均匀受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(xx2)(xxx0xx0解：02xx2()x2210.01(0.01)0.02A增量结构分析:(1)—x的线性函数;(2)—x的高阶无穷小.增量各部分作用分析:取,则有21,()0.01xx取,则有1,0.001xx2210.001(0.001)0.002A推想:对于一般的函数y=f(x),其在任一点x处的增量y=f(x+x)f(x)是否也可表示成如此形式?即是否也可有y=Ax+o(x),且yAx=o(x)?如果这一推想能够成立,函数增量的计算将会变得简单得多！定义：若一元函数y=f(x)在点x处满足:()yAxx其中为不依赖于的常数,则称一元函数y=f(x)在点x处可微,且称为一元函数y=f(x)在点x的微分,记作:AxAxdydyAx二、函数微分的概念考察以下两个问题：①需确定函数在什么条件下能使y=Ax+o(x)这时可得当yAx成立?0,x②如果在一定的条件下,能使yAx成立,还需确定函数微分的具体形式,即A=?可微的必要条件:分析:由上分析求得函数可微的必要条件,且函数微分的系数A恰好就是函数在该点的导数f(x0),即有可微可导,且dy=f(x0)x0limxyx0()limxAxxx0()limxxAxA可微的充分条件:分析:由于A=f(x0)是与x无关的常数,故由定义知,函数y=f(x)在点x0处可微.0lim'()xyfxx'()()yfxxx'()()yfxxxx'()()fxxx可导可微,且dy=f(x0)x函数可微的充要条件:可导可微,且dy=f(x0)x⑴自变量的微分⑵微分一般表达式1,dydxxxxx,yx设.dxx则,dxx由则微分定义式可改写为:()dyfxdx几点说明:⑶导数即“微商”()dyfxdx00()()yfxxxdyfxx对照得出：函数微分dy是函数增量△y的线性主部(微分实质)。故当即可用微分近似代替函数的改变量。0x说明：导数和微分虽然有着密切的联系，但它们又是有区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由自变量增量引起的函数增量主要部分。导数的值只与有关，而微分的值与和都有关。xxx由此可见,导数也即“微商”，函数的可导性与可微性是等价的。2222:1'(1)2.2(1)(1)(1)12yxxydyxyfxfxxx解在点的导数是由微分定义可知20.1,20.10.2,20.10.10.210.01,0.02,0.0201xdyyxdyy时时例1:解：2sin;xyexln3.xyx先求导,再求微分521cos;yxx1524cos52coscosyxxxxx4452cossin5sin2xxxxx45sin2.dyxxdx例2求下列函数的微分2sin;xyexsinsinxxyexexsincos(sincos)xxxexexexx(sincos).xdyexxdx例2（2）例2（3）ln3.xyx2221lnlnlnln1ln.xxxxxxxxxyxxxx21ln.xdydxx解：41441xxxydxxdxydy41dxdyx212例3已知，求xy4ln2xdy例4解:在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立..;cos)()2()()1(tdtdxdxd1(2)(sin)'cos,tCt1(sin)cos.dtCtdt2(1)()2xCx2(+C)2xdxdx三、微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当Q1.函数增量的近似计算公式设)(xfy在点0x处的导数,0)('0xf且||x很小,则0|xxy0|xxdyxxf)('02.函数值的近似计算公式计算)(xf在点0xx附近的近似值:由)()(00xfxxfy.)('0xxf得xxfxfxxf)(')()(000|(|x很小时)四、微分在近似计算中的应用微分近似计算公式xxfxfxxf)(')()(000|(|x很小时)0x附近的近似公式:得到函数)(xf在点,xx令,00x特别地,xffxf)0(')0()(常用函数的近似计算公式由微分近似公式,)0(')0()(xffxf易得常用初等函数的近似公式|(|x很小时):(1);111xnxn(2)x(xxsin为弧度);(3)x(xxtan为弧度);(4);1xex(5).)1ln(xx例5解计算下列各数的近似值:(1);5.9983(2).03.0e(1)335.110005.998310005.11100030015.01100015.031110.995.9(2)03.0103.0e.97.0小结微分学所要解决的两类问题：函数变化率问题函数增量问题导数的概念微分的概念求导数和微分的方法统称做——微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学，叫做——微分学.